数学勉強法

数学教科書理解|数学の教科書レベルを完璧にする!黄金サイクル

「大学受験オンライン戦略会議」、略して「オン戦」では、学習塾STRUX塾長である綱島将人監修のもと、第1志望校合格のための勉強法や勉強に関するコラムを、"受験計画"を通してわかりやすくお伝えしています。高校生のマルオをはじめとするキャラクターたちと、合格への"最短距離"をすすんでいきましょう。

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「数学わけわからない……。」「中学までは得意だったのに……。」そんな思いでこのページにたどりついた人も多いのでは。この記事では、数学の基礎の基礎、教科書レベルの問題を解く力を身につけることができる、最強の勉強黄金サイクルを紹介します。実は、教科書レベルを完璧にするだけでも、センター試験の数学は7割ほどとれてしまうんです。この記事を読んで、「数学なんて意味わからない!」を脱却しましょう!

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    数学が教科書からわかりません。

さきさき慌てる表情
せんせい!すうがく!きょうかしょ!!
……。数学の教科書がどうしたんだ?
さきさき泣く表情
数学が…。教科書すらやばい!というか、どう教科書レベルを理解するのかわかんない!
なるほど。特に理系にとっては、数学は英語と同じかそれ以上に、合否を分ける重要な科目だからなあ。
さきさき慌てる表情
ですよね!だから、教科書をかんぺきにしたいんです!でも「かんぺき」って、どうしたら「かんぺき」なの??かたっぱしから丸暗記??
いやいや、そんな必要はない。
さきさき泣く表情
えーー!じゃあわかんない!どうすればいいのおおお……。
何事もまずは教科書レベルから。今回は、数学の教科書レベルの解法を身につける方法を教えよう

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苦手な人はまずは教科書レベルから!

数学の勉強は、大きく3つにわけられます。

  • インプット:教科書理解
  • 定着:定石理解、問題演習
  • アウトプット:過去問

この記事では、最初のステップである「インプット」を扱います。

さきさき怒る表情
は??「インプット」ってなに??

……と思う人もいるでしょう。数学で言う「インプット」とは、

基本事項と公式を覚え、公式をそのまま使って解ける単純な問題を解くこと

を意味します。当然、この段階がクリアできないと、その次の「定着」や「アウトプット」に進むことはできません

よって、サキサキのように、数学が苦手でなんのことかさっぱり、という人は、公式を覚え、教科書レベルの問題を解けるようにする、「インプット」から取り組んでいきましょう

さきさき通常の顔
はーい。でも、結局何をやるの?やっぱり教科書?
教科書でもいいし、教科書レベルを扱っている参考書や問題集でもいい。どちらかでいいぞ。この記事では、全員がもっている教科書を使った勉強法を紹介する。もし、「教科書はなんかいや。他の本でやりたい!でも教科書レベルがあやしい」という人は、以下のカリキュラム記事を読んでくれ。

教科書レベル(黄チャート) カリキュラム記事(執筆中)

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数学の教科書の基本構造

数学の教科書を開くと、どの教科書にも共通して、以下の4つが載っています。

  • 基本事項
  • 例題
  • 例題の類題
  • 章末問題

それぞれがどんな特徴を持つか、見ていきましょう。

基本事項

これは、各分野の最も基本となる考え方や数学の用語、あるいは覚えるべき基本的な公式について取り上げている部分です。たとえば、確率の分野で「独立」という言葉が出てきますが、その言葉の意味を解説していたり、数学Ⅱの図形と方程式の分野なら、円の方程式の基本形を提示してくれていたりします。

ex. $点(a, b)を中心とし、半径がrの円の方程式は、(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$

例題

基本事項のすぐ後についている、基本的な問題です。基本事項で習った公式や考え方を実際の問題にあてはめて理解する、というわけですね。教科書によっては、一部の例題に「応用例題」という名前がついていて、多少レベルが高い例題も存在します。

ex. $中心が(1, 3)、半径が2の円の方程式を求めよ。$

例題の類題

多くの教科書では、「練習」や「問」というタイトルがつけられているのがこの類題。例題のすぐ後についている問題で、例題の問題の数値や設定を多少変えたものがほとんどです。よって、レベルとしては例題と同じくらいです。

章末問題

その章でやった内容を踏まえ、応用レベルの問題が載っています。当然、応用問題ですから、その章の基本事項や例題をマスターしたうえで取り組まないと、手も足も出ない問題もあります。

どうかな?サキサキの教科書も、だいたいこの構成になっているはずだぞ。
さきさき通常の顔
はい!でも、じゃあどう使えばいいのかが気になる……。
そうだろうな。実は、答えは単純明快で、この4つの枠組みに沿って進めていけばいいんだ。次は、具体的な勉強のサイクルを紹介しよう。

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教科書をフルに生かす!黄金サイクル

教科書で数学のキホンを固めるための、黄金サイクルはこれだ!

さきさき慌てる表情
うわあ、意外とあっさり!

教科書は、多くの大学の教授や高校の先生が、知恵を絞って作ったいわば“最高の参考書”です。教科書の構造に沿ってきちんと勉強していくだけで、数学の基礎力をつけることができるようになっているんですね。

さきさき喜ぶ表情
なるほど!これならあたしにもできそう!

でも、このサイクルに加えて、もう1つ重要な点があります。

さきさき慌てる表情
なに!?

それは、学校の授業と並行して進めていく、ということ。よく、英語や古文では、授業で扱う文章を予習してきなさい、と言われることがありますね。これは理にかなっています。なぜなら、英語や古文は、単語や文法の積み重ねなので、前に覚えた知識が、段階を進んでも文章中に出てくる可能性が高いからです。

一方の数学は、なかなかそうはいきません。たとえば、数学Ⅰの教科書を開いてみてください。

さきさき泣く表情
どれどれ……。うーわ、知らない言葉とか記号ばっかり。泣く。

パラパラ、っとめくるだけでも、放物線が出てきたり、sinやcosが出てきたり、分散や標準偏差といった謎の言葉が登場したりと、1冊の数学の教科書は、まったく違う分野の集合体であることがわかると思います。

要は、進めば進むほど、新しい概念や公式がどんどん出てくるわけです。なので、自力でどんどん先に進めていくのはおすすめできません。数学に苦手意識がある人であればなおさらです。

独学でどんどん進めるより、学校の授業に合わせて進めよう!
さきさき慌てる表情
ちょっとまって!!
なんだなんだ。
さきさき泣く表情
あたしの学校では数学の基本的な授業はもう終わってて、でも、教科書の内容がぜんぜん理解できていないの!だから独学でやるしか……。
わかってるぞ。もう高3や浪人生だという人は、自分で進めないといけないな。そういう人のための勉強法もきちんと教える
さきさき通常の顔
よかったあ……。

黄金サイクルのすすめかた!

では各ステップでどのように取り組むか、詳しくみていきましょう。ここでは、

① 学校の授業と並行して進めるやり方(主に高1・高2生向け)

② 学校の授業が終わってしまった、でも教科書を理解できていないので独学で進めるやり方(主に数学が苦手な高3・浪人生向け)

の2パターンを紹介します。

とはいえ、やはり先ほど紹介したこのサイクルは、どちらにも共通します。

学校の授業と並行するかどうかという人と、独学で進める人の違いは、学校の授業があるかないか、くらいです。ですので、以下に示すステップのうち、Step3からはどちらにも共通します

学校の授業で並行して進める人はStep1から、独学で進める人はStep3からはじめましょう。

Step1.
教科書を軽く予習! → 学校の授業と並行して進める人はここから!
Step2.
授業を聞く
Step3.
基本事項の確認&例題を解く → 独学で進める人はここから!
Step4.
例題の類題を解く
Step5.
章末問題を解く

では、各ステップの詳細を見ていきましょう。

Step1. 教科書を軽く予習!

せっかく授業を受けるのですから、自分がわからない部分を明確にしてから授業にのぞんだ方がいいですね。

まずは、次の授業で扱われるはずの範囲を、教科書でざっと読みます。本当にざっと、1ページ1分くらいでかまいません。問題も解かなくていいです。内容を理解し、問題を解くのはあとでたっぷりやります。

教科書は、誰もが最初に使うものなので、説明は相当ていねいに書いてあります。それでも、やはりただ読んだだけではよくわからないところがあるものです。

そこで、ざっと読んだ中でもよくわからないところに、軽くマークをつけておきましょう。これが、次のStepで役立ちます。

Step2. 授業を聞く

実際に授業を聞きましょう。ポイントは、Step1でマークをつけた場所、つまり読んだだけではよくわからなかった場所をよく聞いて、納得することです。

また、教科書には書いていないことでも先生が話すことがあるでしょう。それは、教科書の空いているスペースやノートにメモをとりましょう

Step3. 基本事項の確認&例題を解く

授業を終えて家に帰ってきたら、必ずその日のうちに授業中扱った基本事項をもう一度確認します。

独学で進める人は、このステップからスタートですね。1日に例題3つ解くことを目安に、基本事項の確認と例題を進めていきましょう。

さきさき通常の顔
わたしは独学だから1日に例題3つか……。がんばろ!

公式が出てきた場合は、それもその場で暗記するように努めましょう。紙に書く、口に出して唱えるなどなんでもいいです。

ところで、多くの数学の公式は、$a$や$x$などの文字を使った式で書かれています。そのため、このときに注意すべきことがあります。それは、「公式の中の文字が何を表しているのか」まできちんと覚える、ということです。

たとえば、数学Ⅰで習う正弦定理なら、教科書にはこんな公式が書かれています。

これだけをお経のように書いたり読んだりしても意味はありません。あなたはこの式中の$R$が何を意味しているかすぐに言えますか?

さきさき慌てる表情
たしかに……。正弦定理はぼんやりわかるけど$R$ってなんだっけ……。

この$R$は「三角形ABCの外接円の半径」を表しています。このように、公式の中の文字が何を表しているのかがわからないと、結局問題を解くときに使えないわけです

以上のようなことに注意をして基本事項の確認と公式暗記をしたら、それに関連する例題を解きます。まだこの段階では基礎事項や公式を見ながら解いてもかまいません。もし間違えた場合には、例題の問題番号の横にチェックを入れておきましょう

公式の暗記では、文字が何を表しているのかを意識すること!そうでないと例題すら解けないぞ!

Step4. 例題の類題を解く

Step3を行った次の日に、例題の下にある類題を解きましょう。前日に例題そのものを間違えていた場合は、例題も合わせて解き直します。

ここでのポイントは、基本事項や公式の説明を見ずに解くこと。前日にしっかり暗記ができていれば、その基本事項や公式を使って簡単に問題が解けるはず。もし解けなければ、もう一度基本事項や公式を読み直し、覚え直します。




ここまでで、とりあえずひと区切り。先に進みながら、学校の授業と並行して進める人はStep1~4を繰り返し、独学で進める人はStep3・4を繰り返していきます

このとき、進めていく中でも、前に覚えた公式はその都度見直すようにしましょう。特に図形と方程式やデータと分析、数列、三角関数などの分野では、1つの分野あたりの公式が多く、かつ覚えたものをその都度別の例題で使うことがよくあるからです。

さきさき通常の顔
たしかに、定期的に見直さないと忘れちゃいそう。
数学の公式も、英単語や古文単語と同じ。繰り返し見ることで、頭に残るんだ!

Step5. 章末問題を解く

公式と例題を一通り終え、1章分の内容が終わったら、最後に章末にある問題を解きます。教科書によってはかなり問題量があるので、1日あたり3~4問を目安に解いていきましょう。

この章末問題は、先ほども言った通り、主に応用問題であるため、なかなか難しく、1回目ですべて解けるなんてことはおそらくないでしょう。最初に間違えた、あるいはわからなかったものに関しては、その翌日に必ず解き直しをしましょう。そこで合っていたとしても、3日あけてさらにもう一度解き直します。つまり、1回目で間違えたものについては、最低3回は解き直すということです。

章末問題は自力で解けるようになるまでとことん解く!

教科書の唯一の欠点

さきさき喜ぶ表情
このサイクルでがんばる!
がんばれ!……と言いたいところだが、ちょっと待った!!
さきさき慌てる表情
なに??
1つ教科書には残念なところがあって、教科書によっては、例題の類題や章末問題の完全な解答がのっていないものがあるんだ。
さきさき慌てる表情
あ、ほんとだ!わたしの教科書の章末問題は、後ろのページに答えの数値しか書いてない!解説が、ない!!ありえない!!

教科書は、もっとも基本的な、そしてもっとも内容がくわしくまとまっているものなのですが、すべての問題に対する詳細な解説が載っているとは限らない、という点が唯一の欠点です。

例題ならまだしも、章末問題レベルになると、解説なしではなかなか大変。この対処法として、2つ考えられます。


① 学校の先生に質問に行く

② 教科書ガイドを購入する

①が一番手っ取り早いですね。ですが、わからない問題が何問もある場合、なかなか先生に質問するのも気がひける……、という人もいるのでは。

そういう場合には、教科書ガイドを使いましょう。これは本屋さんに行けば売っています。値段は2000円ほどが相場で少々値がはりますが、教科書の問題の詳細な説明が書かれているため、特に独学で進める人は買っても損はないでしょう。


さきさき通常の顔
せんせい!具体的な勉強サイクルはわかったけど、これだけで完璧にできるのー?
ああ、大丈夫だ。このサイクルを全部の分野でできれば、教科書は十分完璧だ。それこそ、これだけで、センター試験の数学では7割とれる基礎力はついている
さきさき慌てる表情
ええ!?ほんと!?
本当だ。ただ、知っておいてほしいのは、受験数学の勉強はどうしても教科書だけでは足りない、ということ。入試に出題されるのは、教科書の章末問題よりはるかに難しい問題や、複数の分野の内容を組み合わせて解く問題もしょっちゅうだからな。
さきさき慌てる表情
なるほど……。道のりは長い……。
だから、教科書が完璧になったら、次はほかの参考書で問題演習をする必要がある。詳しくは次の記事を見てくれ!

数学定石理解(執筆中)

数学問題演習(執筆中)

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数学の教科書にまつわるあれこれQ&A

ここでは、高校生のみなさんが数学の教科書に対してもつよくある疑問を、サキサキが代表して赤神先生にぶつけます。

質問その1

さきさき通常の顔
教科書はいつまでに完璧にすべき??
理想は、学校の定期試験ごとに、範囲となっている教科書の内容を完璧にしておくことだ。けど、学校の授業にだいぶ遅れをとってしまった……。という人もいるだろう。そういう人は、最低でも受験の10か月前までには完璧にしておきたい。さっきも言った通り、教科書が終わってもやるべき数学の勉強はたくさんあるからだ。
ただ、数Ⅲに関してはこの限りではない。高3になっても数Ⅲを学校で習っている、という人は、数Ⅲは受験の5か月前には教科書レベルを完成させよう。

質問その2

さきさき通常の顔
教科書の問題と似た問題を、先生が宿題として配ってくれるんだけど……。
もちろん、先生が配る問題も解こう。黄金サイクルの中の、例題の類題を解く部分(Step4)を代わりに先生の配る問題にあててもいいぞ。教科書の問題と先生の問題を両方やってもかまわない。

質問その3

さきさき通常の顔
教科書に載っている証明は丸暗記するべき?
丸暗記は、しなくていい。もちろん、例題や章末問題として証明問題が載っているなら書けないといけないし、解き直しをした結果、暗記するつもりなかったのに暗記してしまった、というならOK。でも、ふつうに勉強する中で、公式の導出過程や細かい証明は、読んでいたらきりがないので暗記はいらないぞ。

まとめ

今回のまとめだ!


・数学はインプット・定着・アウトプットの3ステップ!苦手な人はまずはインプットから!

・インプットとは、基本事項と公式を覚え、公式をそのまま使って解ける単純な問題を解くこと。

・数学の教科書は、基本事項・例題・例題の類題・章末問題の4つをサイクルでまわしていこう!学校のプリントを併用してももちろんOK!

・公式を覚えるときには、文字が何を表しているのかまで覚える!

・答えがないものについては、先生に質問or教科書ガイドを買う!

・教科書は、定期テストごとに完璧にするのが理想。遅くても受験の10カ月前までには完璧に!