数学勉強法

【数学A】確率勉強法|ニガテなままじゃもったいない!確率を得点源にする勉強法

「大学受験オンライン戦略会議」、略して「オン戦」では、学習塾STRUX塾長である綱島将人監修のもと、第1志望校合格のための勉強法や勉強に関するコラムを、"受験計画"を通してわかりやすくお伝えしています。高校生のマルオをはじめとするキャラクターたちと、合格への"最短距離"をすすんでいきましょう。

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確率を得意分野になるコツがわかります

確率といえば、高校数学の中でも苦手意識を持つ人が多い分野。しかし実は考え方さえわかってしまえば楽に得意にできる分野です!「余事象の問題が解けない……」、「たくさん公式あるけどどれを使えばいいの?」そんなお悩みに答えて確率を得意分野にするノウハウをお教えします!

  • 紙画像
  • 案件
    確率の問題が全然解けません。

さきさき通常の顔
赤神さん~学校の期末試験が返ってきたんだけど~
その表情ってことは赤点でもとったのか。
さきさき喜ぶ表情
さすが赤神さん!確率の問題ほぼ全滅で赤点だったーてへぺろ~
笑い事じゃないぞ。確率か、高校数学最初の難関といったところだな。どこでつまずいているんだ?
さきさき泣く表情
どこがわからないかもよくわからないの!まじむり~
なるほど、確率が苦手という人に多い症状だな。だが確率という分野はどこがわからないかを理解すれば楽に得意にできる分野でもある。
さきさき笑う表情
楽に得意にってうちのための言葉じゃん!マジやる気でてきたわ~
いい表情だ。まずはどこで悩んでいるかをはっきりさせよう。

戦略1. つまずきポイントはここだ!

1-1確率ってそもそも何?

確率についての具体的な疑問点を見ていく前に、まず確率の定義を確認してみましょう。

事象Aが起きる確率:事象Aが起こる場合の数/起こりうるすべての場合の数
※ただし起こりうるすべての事象は同様に確からしいとする

さきさき怒る表情
ちょっまじむり~。事象とか場合の数とか同様に確からしいとか難しい言葉ばっかじゃん!もっと簡単に教えてよ~
まぁそう慌てるな。簡単な例を使って1つずつ説明していく。
例えばここに1つのさいころがあって、そのさいころを1回振って4の目が出たとしよう。
この時さいころを振った結果起きた4の目が出たという事柄のことを事象という。
さきさき慌てる表情
お祭りでくじを引いた結果1等が当たったというのも事象と呼ぶってこと~?
そうだ。何かをやった結果の事柄のことを事象と言うと理解できていれば大丈夫だ。
さいころの例に戻ろう。さきさき、さいころを振ってでる目はいくつある?
さきさき慌てる表情
そんなの6つに決まってるじゃん?
そう、さいころを振ると6通りの結果が起きる。このとき、さいころを振った時の場合の数は6通りというんだ。
さきさきやる気
何かをやった結果の事象の数の合計が場合の数ってこと?
そうだ。そしてすべての事象が同じ割合で起こるとき、それらは同様に確からしいという。さいころで6つの目はそれぞれ同じ割合で出るから、同様に確からしいということができるんだ。まとめると次のようになるな。

事象:何かを行った結果起きた事柄

場合の数:起こりうる事象の数の合計

同様に確からしい:事象が同じ割合で起きると想定できるということ

1-2確率の問題、どこでつまずく?

確率を求めるときの基本は場合の数の計算だということは伝わっただろうか。
さきさき喜ぶ表情
確かに確率の定義を見たらそうな感じだよね~
確率の問題でつまずく人は実は場合の数でつまずいているということも多いんだ
さきさき慌てる表情
でも自分が場合の数でつまずいているかどうかもよくわからないの~
そんなさきさきのために確率のつまずきポイントをまとめてみた。次の表を見て自分がどこでつまずいているかを確認してみよう!

戦略2.具体的な疑問を解決していこう

2-1.確率の基本

まずは確率の1番基本的なところから見ていきましょう。

さきさき、いきなりだが次の問題を解いてみてくれ。

問.コインを3回投げて表が2回、裏が1回出る確率を求めよ。

さきさき慌てる表情
どこから手を付ければいいの~マジむり~
まずは確率の定義に戻ろう。確率とは、事象Aが起こる場合の数/起こりうるすべての場合の数のことだったね。
ここで事象Aにあたるのはどれだろう?
さきさき通常の顔
表が2回、裏が1回出るって事柄のことでおっけー?
よし、いいぞ!次はそれぞれの場合の数を求めてみよう。
さきさき笑う表情
表2回裏1回ってことは表表裏と表裏表と~
わかりにくかったら表にしてみるといいぞ
さきさき通常の顔
こんな感じ?
場合の数
1回目 2回目 3回目
さきさき喜ぶ表情
この表を見た感じ表2回裏1回は3通り、全部だと8通りっと。
あとは定義に入れるだけだ!
さきさき通常の顔
答えは$\frac{3}{8}$じゃん?
正解だ。定義にそって計算していくのが基本だ。混乱しそうだったら表を書くのもいいだろう。

確率の基本:Aの場合の数/全部の場合の数

2-2.独立、排反と反復試行?

次は独立、排反という言葉の定義とそれを使った反復試行の確率というものを学んでいきます。
独立と排反の言葉の定義をみる前に試行という言葉について確認しましょう。

試行:繰り返し行うことのできる実験・観測などを試みること

さいころを振る、コインを投げるといった行為のことを試行と呼ぶ。
次は独立、排反という言葉の定義を確認するぞ。
  • 独立:2つ以上の試行においてどの試行も他の試行の結果に影響しないということ
  • 排反:A、Bという2つの事象が同時に起こり得ない時、これらの事象は排反であるという
さきさき笑う表情
赤神さーん、なにを言っているの~さきさきにもわかるように教えてよ~。
じゃんけんを例に考えてみよう。さきさきと僕がじゃんけんを2回するとしよう。僕らのじゃんけんの強さは同じとする。
さきさき怒る表情
あり得ない!うちの方が強いもん!
そういう話じゃなくてあくまで仮定の話だ。話が進まないから無理やり進めるが、さきさきが2回目のじゃんけんで勝つ確率は$\frac{1}{2}$だな?じゃあ僕が1回目勝ったとして2回目はさきさきが勝つ確率はいくつだ?
さきさきやる気
1回目の結果なんて関係ないから1/2じゃない?
そうだ、別に1回目さきさきが勝ったからといって2回目さきさきが突然強くなるわけじゃないな、ゲームじゃあるまいし。こういうときに1回目の試行と2回目の試行はそれぞれ独立であるというふうに言えるんだ。
さきさき喜ぶ表情
なるほど。結果がほかの試行に関係ない試行だと「独立」ってことか~
わかってきたな。次はさきさきと僕がじゃんけんを1回したときに2人とも勝つ確率を考えよう。2人とも勝つ確率はいくつだ?
さきさき通常の顔
2人とも勝つなんてそんなんあり得ない!じゃんけんにならないじゃないじゃん!
そう、僕が勝つという事象とさきさきが勝つという事象は同時に起こり得ないな。そういう事象のことを排反な事象というのだ。
さきさき笑う表情
同時に起こり得ない事象だと「排反」っと。

独立:結果が他の試行に影響しない 排反:同時に起こり得ない

独立と排反がわかったところで反復試行について定義から学んでいきましょう。

反復試行:独立な事象を繰り返す試行のこと

実は今日すでに反復試行についての問題を少しやったのだがどこか気づいたか?
さきさき慌てる表情
問題1問しか解いてないじゃん。コインを3回投げて表2回裏1回出る確率を求める問題だよね~?(※2-1参照)
そういえば1問しかやっていなかったな。まぁいい正解だ。コインを3回投げるというのは独立な試行の繰り返しだから反復試行と呼べることになる。この問題の答えはどうやって求めたか覚えているか?
さきさき慌てる表情
えーっと定義に戻って場合の数を計算して割り算して~
そうだ。確率の基本となる解き方だな。しかし反復試行の問題はもっと簡単に答えを求めることができる。さきさき、コインを1回投げて表が出る確率と裏が出る確率はそれぞれいくつだ?
さきさき喜ぶ表情
$\frac{1}{2}$ずつ~
よし、では表2回裏1回出たとき、それらの順番は何通りあるか?
さきさき笑う表情
表表裏と表裏表と裏表表で~3通りー!
これで答えはもう出たも同然だ。表表裏、表裏表、裏表表の3通りについてそれぞれ起こる確率$\left(\frac{1}{2}\right )^3$$=\frac{1}{8}$で$\frac{1}{8}$ずつ、これが3通りあるので$\frac{1}{8}$$\times 3$$=\frac{3}{8}$となる。
少しわかりにくいかもしれないから反復試行の練習問題を用意してみたぞ。

練習問題

問:さいころを4回振ったとき3の倍数の目がちょうど2回出る確率はいくつか求めよ

解説:さいころには6つの目があり3の倍数は3,6の2つなので、さいころを1回振って3の倍数の目が出る確率は$\frac{1}{3}$。逆に3の倍数以外の目が出る確率は$\frac{2}{3}$となる。
3の倍数の目の出る順番は${}_4 \mathrm{C}_2$の6通り。(ここがわからない人は「場合の数」を読んで復習しましょう!)
それぞれについて起こる確率は$\left(\frac{1}{3}\right )^2$ $\times \left(\frac{2}{3}\right )^2$$=\frac{4}{81}$ でありよって
$\frac{4}{81}$$\times 6$$=\frac{8}{27}$

答え.$ \frac{8}{27}$

2-3 条件付き確率って?

次は条件付き確率という分野について学んでいきましょう。確率の中でも混乱してしまう人が多い分野ですが、定義からやれば難しくはありません!じっくりと学習していきましょう!

さきさき慌てる表情
赤神さ~ん、そもそも条件付き確率ってなに~
ド直球な質問が来たな。よし、その質問にお答えしよう。条件付き確率とはズバリこれだ!

条件付き確率:ある事象Aが起きたとわかっているという条件で事象Bが起きる確率

さきさき怒る表情
アバウト過ぎててわかんない~
まぁそう焦るな。例を使って説明する。さいころを1個振ったが出た目を見逃してしまった。ここで通りすがりの通行人が出た目は奇数だったと教えてくれたとしよう。この時出た目が3以下である確率はいくつになるかわかるか?
さきさき笑う表情
何やってんのその通行人。まぁいっか。えーっと奇数だったってことは1,3,5の3つのどれかで3以下なのは1,3の2つ。それぞれが起きる確率は等しいから$\frac{2}{3}$じゃない?
正解だ。これが条件付き確率だ。
さきさき慌てる表情
え?どこが?
OK、通行人がいなかったとしよう。そしたら出た目が3以下である確率はいくつだ?
さきさきやる気
1~6の6個の可能性があってそのうちの1,2,3の3個だから$\frac{1}{2}$~
そう、通行人がいなかったときは$\frac{1}{2}$だった確率が通行人が奇数だったと教えてくれたことで$\frac{2}{3}$に変化したな?これは、通行人が奇数だったと教えてくれたという条件によって求める確率が変化したということだ。
さきさき喜ぶ表情
えーっとさっきの事象A、Bってやつに当てはめると事象Aが出た目が奇数、事象Bが出た目が3以下ということで大丈夫~?
わかってきたな。事象A(奇数)ということ判明したという条件で事象B(3以下)の確率を求めるのが条件付き確率ということだ。

条件付き確率:ある事象Aが起きたとわかっているという条件で事象Bが起きる確率

2-4 余事象とは

このセクションでは「余事象とはなに?」というところから「余事象を使うとなにができるか」までを解説していきます。余事象の概念をつかむことによって、一見複雑な計算が必要な問題でも、簡単な計算であっさり解けてしまうことがあります!

まずは余事象とはなにか、定義を見てみましょう。

余事象:事象Aに対して「Aが起きない」という事象
例)コインを投げて表が出るという事象に対する余事象→コインを投げて表が出ない=裏が出るという事象

ではこの余事象を使うとなにができるのでしょうか。次の問題で見てみましょう。

問.コインを10回投げた時少なくとも1回表が出る確率を求めよ

さきさき怒る表情
いやいやいや10回投げて少なくとも1回って表が1回、2回、3回……って10回まで場合分けしなきゃいけないじゃん!マジだるいわ~><
そういうと思ってこの問題を出したんだ。さきさき君、コインを投げて表が少なくとも1回出るという事象の余事象はなにかわかるか?
さきさきやる気
「表が1回、2回、3回……10回って出る」って事象が起きない事象ってことは~
混乱しているようだが、余事象とは簡単に言ってしまえば逆の事象ととらえても問題ない。表が少なくとも1回出るという事象の逆ってことは、表が1回も出ない、つまり全部裏が出るという事象のことだ。
さきさき怒る表情
それならすぐに確率を求められるじゃん!最初からそう言ってよ~
10回全部裏ってことは$\frac{1}{2}$10$=\frac{1}{1024}$だね!
そうだ。そして表が1~10回出るか表が0回(10回全部裏)かのどちらかが起きる確率はいくつだ?
さきさき泣く表情
えーっと表は0~10回のどれかだからその確率はあわせて1?
そう、これでこの問題の答えは求まった。表が0~10回の確率は1,表が0回の確率は$\frac{1}{1024}$ということは表が1~10回の確率は$\frac{1023}{1024}$ということだ。
さきさき喜ぶ表情
全体の確率から余事象の確率を引いたら求めたい確率が求まるってことか~
そういうことだ。直接求めにくい計算でも余事象を使うと簡単に求まることが多い。ちなみに余事象を使った方がいい問題には「少なくとも」というキーワードが入っていることが非常に多いのでチェックしておこう!

余事象:事象Aに対して「Aが起きない」という事象(Aの逆の事象)
※「少なくとも」に注意!

2-5 期待値

このセクションではここまでの4つとは少し雰囲気の違う期待値という分野を学んでいきます。宝くじを1枚買うと平均していくら当たるかなど、身近な疑問を解くことができるのが期待値の醍醐味です!
例によって定義から学んでいきましょう。

期待値:ある試行を行った結果として得られると期待される数値のこと

さいころを1回振るという試行について考えてましょう。さいころの目は1~6でそれぞれ$\frac{1}{6}$1/6の確率で出るとすると、さいころを1回振った時出る目の期待値は
$\frac{1}{6}\times 1 +\frac{1}{6}\times 2+\frac{1}{6}\times 3 +\frac{1}{6}\times 4+ \frac{1}{6}\times 5 +\frac{1}{6}\times 6=3.5$
となり1回さいころを振るとき期待できる出目は$3.5$ということになります。

さきさき泣く表情
ちょっと待って~!どういう計算で期待値を求めたの~
おっと確かに期待値の求め方の式を飛ばしてしまったな。期待値は以下の式で求められるぞ。

期待値=(得られる数値)×(その数値が得られる確率)の合計

今回の例だと得られる数値がさいころの出目の1~6で得られる確率はすべて1/6になっているから$\frac{1}{6}$$\times 1……$$\frac{1}{6}$$\times 6$の合計が期待値ということになるな。
さきさき泣く表情
うーんまだいまいちわかんない~。
そんなさきさきのために練習問題を用意しておいたぞ。お祭りでよくあるあんず飴の屋台に関する問題だ!

練習問題

問:ある夏祭りにはあんず飴の屋台があります。この屋台では200円で1回店主とじゃんけんができ、勝つと3本、引き分けると2本、負けると1本あんず飴がもらえます。200円払って1回じゃんけんをしたとき、もらえるあんず飴の本数の期待値はいくつでしょうか?

まずは起こり得る事象と確率を求めます。

じゃんけん結果 もらえる本数 起きる確率
勝つ 引き分け 負け
3本 2本 1本
$\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$

結果は上の表のようになります。
次に期待値の計算式から実際に期待値を求めていきます。

  • 勝ち:もらえる本数:3本、確率: $\frac{1}{3}$→$\frac{1}{3}$$ \times 3=1$
  • 引き分け:もらえる本数:2本、確率:$\frac{1}{3}$→$\frac{1}{3}$$ \times 2=\frac{2}{3}$
  • 負け:もらえる本数:1本、確率:確率:$\frac{1}{3}$→$\frac{1}{3}$$ \times 1=\frac{1}{3}$

よって合計して1+2/3+1/3=2 となり求める答えは2本となります。

もう一度期待値の定義と計算式を確認しておきましょう。

  • 期待値:ある試行を行った結果として得られると期待される数値のこと
  • 期待値=(得られる数値)×(その数値が得られる確率)の合計

戦略3.確率攻略最大のポイント

ここまで確率のどこでつまずいているかを明らかにしてそのつまずきを解消してきたがどうだっただろうか?
さきさき怒る表情
うーん1個1個は分かったけど結局何に気を付ければいいのかがわかんない~
なるほど。実は今回全部の疑問に対してある共通したやり方で解決していったんだがそれがなにかわかるか?
さきさき通常の顔
あっ!最初に言葉の意味を確認したこと~?
そう、最初に言葉の定義を確認してからその定義に沿って疑問を解決していったんだ。そして公式という言葉も使っていないことに気づいただろうか?
さきさき慌てる表情
そういえば1回も聞いてない~!うちとにかく公式を覚えなきゃいけないからマジだるいと思ってたんだけど出てきてないじゃん~
そう、そこが最大の落とし穴なんだ。多くの人はたくさんある公式を覚えようとばかりしていて元々の言葉の意味をしっかり確認していないんだ。公式を頭にいれても元の言葉の意味がわからなければ問題は解けない。確率の攻略最大のポイントは公式にとらわれず言葉の意味をしっかり確認することだ!
さきさきやる気
あーそれで確率への苦手意識をもってたのか~
あと確率に苦手意識を持つ人によくあるのは確率の前に場合の数でつまずいている場合だ。
さきさき喜ぶ表情
そうそう、場合の数ができないと確率ってできないの~?
結論から言うと場合の数がしっかり身についていないと確率の問題を解くのは厳しいことが多い。戦略2でも確認したように確率の基本は場合の数の割り算だからだ。
さきさきやる気
まずは場合の数をしっかりとってことね!
あと1つ聞きたいことが~。確率の分野っていつまでにやらなきゃいけないの~?
高1のときに習うことになっているので一通りは習った時(高1の間)に押さえておきたい。問題演習は高2,3の期間でもやるから焦って高1の間に完成させようとしないでもいいぞ。使うべき参考書は以下のリンクを参照してくれ。
「数学わけわからない……。」「中学までは得意だったのに……。」そんな思いでこのページにたどりついた人も多いのでは。この記事では、数学の基礎の基礎、教科書レベルの問題を解く力を身につけることができる、最 ...... 続きを読む≫
さきさきやる気
おっけ~うちがんばってみるー!

まとめ

    ①表を見て悩んでいるポイントを明確にする
    ②確率の攻略最大のポイントは公式にとらわれず言葉の意味をしっかり確認すること
確率を得意にして他の受験生に差をつけよう!
line@

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