【数学A】場合の数勉強法｜答え合わない！時間かかる！を解決する、場合の数勉強法

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場合の数と聞いていやなイメージを持つ方も多いのではないでしょうか。「しっかり数え上げたはずなのに答えが合わない……」、「答えを出すことはできるけど時間がかかりすぎる」などのお悩みを抱える方必見！ミスなく素早く答えを出すために押さるべきポイントをお伝えします！

案件
場合の数が苦手です……。

戦略01 記号の意味は大丈夫？
戦略02 場合の数のパターンはこれだけ！
戦略03 場合の数攻略最大のポイント

あーもう！なんで答え合わないのよ！

今回はどうした？

場合の数の問題解いてるんだけど答え合わないしすごく時間かかるしでもういやああああああああ……。

場合の数か。答えが合わないとか解くのにすごく時間がかかるとかはよくある悩みだな。

よくある悩みならなんかコツとかないの！コツとか！

あるぞ。場合の数の問題はある程度パターンが決まっているからそれをつかめば一気に解きやすくなるぞ。

だったら早くそのパターンってのを教えて！

まぁそう焦るなって。1つずつ解説していくからしっかりついてくるんだ。

戦略01
記号の意味は大丈夫？

場合の数ってそもそも何？

場合の数についての具体的な疑問点を見ていく前に、まず場合の数の定義を確認してみましょう。

場合の数：起こりうる事象の数の合計

※事象：何かを行った結果起きた事柄

たとえば、さいころを2個投げた時の出る目のパターンの数。これも場合の数です。

場合の数の基本は数え上げ？

さきさきは場合の数の問題を解くときにどのように解いてる？

そりゃ樹形図とか書いて数え上げてるに決まってるじゃん！

まさか全部の問題で樹形図を書いてるのか……？

それ以外にどう解くの？CとかPとかよくわかんないし……。

たしかに場合の数の基本は数え上げだが、毎回毎回数え上げてたら日が暮れてしまうぞ。場合の数の問題は何個かのパターンに分かれていて、それぞれについて楽に早く計算できる方法があるから、それを教えてやる。

待ってました！

まずはそのための下準備としてこれから使う記号の意味を学んでいこう。

謎の記号「！」と「C」と「P」って？

場合の数の問題を早く正確に解くにはこれらの記号は絶対に欠かせないからしっかり覚えておこう。まずは下に定義を書いておくぞ。

$n!$：正の整数 $n$ に対して $n!＝1×2×……×n$ のように $1~n$ までの整数の積のこと。「nの階乗」と呼ぶ。

${}_n \mathrm{P} _r$：n個のものの中からr個のものを順番に並べるときの並べ方の総数。${}_n \mathrm{P} _r = n×(n-1)×……×(n-r+1)$で計算される。

${}_n \mathrm{C} _r$： $n$個のものの中から $r$ 個のものを取り出す時のとりだし方の総数。${}_n \mathrm{C} _r = n×(n-1)×……×(n-r+1)/(r×(r-1)×……×1)$ で計算される。コンビネーションと呼ばれる。

うん？ナニイッテルノ？

まぁこれを見たらそうなるわな。$n!$ から説明するから安心しろ。まず $n!$ についてだがこの「！」は階乗と呼ばれ、定義のところには少し長く書いてあるがつまり1～n全部の掛け算の結果だ。例えば「5！」だったらいくつになる？

5×4×3×2×1だから……えっと120？

正解だ。階乗はただ掛け算すればいいだけだから単純だな。次は ${}_n \mathrm{P} _r$ についてだが、これはつまり$n×(n-1)×……$と上から $r$ 個を掛け合わせた結果だ。たとえば${}_5 \mathrm{P} _2$だと5からスタートして2つかければいいから5×4で20となる。

とりあえず上から順にかけていけばいいのね！

ああ。次は ${}_n \mathrm{C} _r$ だ。さっきのPと似ているが、まずは $n×(n-1)×……$ と上から$r$ 個をかけて、それを $1×2×……×r$ で割った結果が ${}_n \mathrm{C} _r$ だ。

んんん？わかりにくいって～～～。

まぁ待て。実はこのCはもっとカンタンに書けて、さっき学んだ $!$ と $P$ を使って、${}_n \mathrm{C} _r = {}_n \mathrm{P} _r / r!$ と表せるんだ。

なんだ簡単じゃん！それを先に言ってよ！

多少回り道した方が覚えやすいもんだ。許せ。