数学勉強法

【数学2】三角関数|高校数学の難関!三角関数の重要ポイントがわかります!

「大学受験オンライン戦略会議」、略して「オン戦」では、学習塾STRUX塾長である綱島将人監修のもと、第1志望校合格のための勉強法や勉強に関するコラムを、"受験計画"を通してわかりやすくお伝えしています。高校生のマルオをはじめとするキャラクターたちと、合格への"最短距離"をすすんでいきましょう。

サイトについてはこちら

高校数学の難関 三角関数の勉強法が 基礎から2次までわかります!

三角関数ってなかなか難しいし理解もしにくいですよね。この記事では、「公式がいっぱいで大変……。」とか「結局何が重要なの?」といった皆さんが持っている三角関数への悩みを解決していきます!

ペン画像戦略1 三角関数は三角比の復習から始めよう!

さきさき慌てる表情
せんせーい。この教科書なんかおかしいよ。
ん?どれどれ。
さきさき怒る表情
$\sin$とか$\cos$とか、これ高1でやったやつじゃん。なんで数Ⅱの教科書に出てきてるのよ。
ああ、それは間違いなんかじゃない。三角関数だ。
さきさき慌てる表情
三角関数?三角比じゃないの?
高1のときには三角比を習ったな。あれは三角関数に入るための準備だ。
さきさき泣く表情
うわー。さすがにテンション下がる……。またあれやるの?
大丈夫だ。さすがに同じ内容を繰り返すわけじゃない。もっと難しくなるぞ笑
さきさき泣く表情
ええ……。わかる気がしないんだけど。
ちゃんと勉強すれば大丈夫だ。まずはどれくらい三角比を覚えているかテストだな。
  • 直角三角形があったとき、$\sin \theta , \cos \theta , \tan \theta $がそれぞれどこを指すかわかる
  • $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $、$ 1 + tan^2 \theta = \frac { 1 }{ \cos^2 \theta } $という公式を覚えている
  • 正弦定理と余弦定理がどんな公式だったか覚えている
  • 三角比を用いて三角形の面積が出せる
これらの知識が抜けていたら、三角関数は勉強できない。もし、1つでも不安なものがあれば、いますぐに数Ⅰの教科書を見直そう。
さきさき慌てる表情
あれ……やばいかも。ちょっと復習してくる。

ペン画像戦略2 2つのポイントを押さえれば三角関数の基本がわかる!

さきさき泣く表情
ちょっと問題解いてみたけど、いまいちできない……。結局三角関数って何がしたいの?

いろいろな公式があって、何がしたいのかわからない問題って多いですよね。でも、三角関数の問題って突き詰めていくと意外にシンプルで、重要なテーマが2つに絞れるんです。三角関数でよく狙われるテーマは、「三角関数を用いた方程式・不等式」と「三角関数の最大・最小」です。もちろん、これよりむずかしい問題もありますが、今回はよく出題される&三角関数を勉強する上で基礎になるこの2テーマをおさえましょう!

①三角関数を用いた方程式・不等式

例としてはこんな問題があります。

$ 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi $のとき、
(1) $ \sin \theta \lt – \frac { 1 }{ 2 } $を解け
(2) $2 \sin^2 \theta + \sin \theta -1 = 0 $を解け

このような問題を解くときに重要なのは、座標を見たときに $\sin$ は$y$軸上、$\cos$は$x$軸上にあらわれると言うことです。このことさえわかっていれば問題は解けます。

メモとして単位円を書き考えることでイメージがつかみやすくなります!たとえば、(1)ならこんな感じです。

単位円を使った解答例

さきさき喜ぶ表情
なるほど!図を書くとわかりやすいね!

②三角関数の最大・最小

もうひとつのテーマは最大・最小。こんな問題を見たことはないでしょうか?

$ 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi $ のとき、
$ y = \sin ^ 2 \theta + 2 \sin \theta + 1 $ の最大値・最小値を求めよ。

こんな問題を解くときには「置き換え」が使えます。

さきさき通常の顔
おきかえ?

例えば、この問題では、よく解いていた2次関数と同じようにするため、$\sin \theta = x$ としましょう。$ x $の2次式なら解けますよね。

さきさき慌てる表情
え?そんなことしていいの?

いいんです。ただ、置き換えるときは、変数を変数に置き換えることに注意しましょう。例えば今回は、$\sin \theta$という変数を$x$という変数に置き換えましたね。問題によっては$ \cos \theta $や $ \sin \theta \cos \theta $、$ \sin \theta + \cos \theta $や$ \sin \theta – \cos \theta$を$x$に置き換えるなどいくつかのパターンがあります。

ただ、後の3つは難しいので、センター試験であれば問題文に置き換えの方法が書いてあることがほとんどです。

また、どう置き換えればいいのかわからない場合は、いくつか試してみることが大事です。最初から上手く置き換えができる人はいません。2次試験の勉強をする際でも、最悪全部試してしまえば解けるというわけです。

そして、置き換えをしたときには1つ、注意しなければいけないことがあります。それは置き換えた後の$x$がどの範囲を動くか、ということです。

さきさき泣く表情
?????

今回で言えば$ 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi $のなかでの$ \sin \theta $が$x$に等しいんですよね。$ 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi $の範囲で、$ -1 \leqq \sin \theta \leqq 1 $ですから、$x$が2とか100とかの値だったらおかしいですよね。

さきさき慌てる表情
たしかにそれだとイコールが成り立たない!

つまり、$x$にも範囲の限定があるわけで、今回で言えば$ -1 \leqq x \leqq 1$なんです。このことにさえ注意すればあとは2次関数と同じように解くだけです。

$\begin{eqnarray} y = x^2 + 2x + 1 \\ y = ( x + 1 )^2 \\ -1 \leqq x \leqq 1より\end{eqnarray}$
最大値は$ x = 1 $のとき、4
最小値は$ x = -1 $のとき、0

こんな風に解けてしまいます。

さきさきやる気
置き換えと、置き換えた文字の範囲に注意すればいいんだね!

基本の2パターンを しっかり理解しよう

重要なポイントはわかったかな?基礎力に不安がある人はこの記事も読んでくれ!
数学定石理解
案件期末テストで終わらない本物の数学力を身に付けたい! 戦略01 定石ってなに?なぜ定石を覚えるの? 戦略02 なにをすればいいの? ※サイトが正常に表示されない場合には ...... 続きを読む≫

ペン画像戦略3 三角関数で得点を取るために

①公式を覚えよう!

さきさき慌てる表情
三角関数って、いろいろ公式が出てくるじゃん。あれってどうすればいいの?

教科書にのっている公式は基本的にすべて覚えましょう。和積公式、積和公式は加法定理から導けるので後回しにしても構いませんが、それ以外の公式はかならずすべて覚えて下さい。

さきさき慌てる表情
ええ……。なんで?

三角関数は他の分野と比べても特に、公式を覚えていないと手も足も出ない分野です。教科書にはさまざまな公式がのっていますが、それらをすべて覚え、使えるようになっていることがこの分野の前提です。

さきさき怒る表情
それまじで言ってんの?なんか問題みせてよ。

これは平成29年度センター試験数学ⅡBです。

(平成29年度センター数ⅡB 第1問1ページ目の画像)

例えばこれがいい例ですよね。センター試験で大問Ⅰのアから公式そのまんまです。

さきさき慌てる表情
まじか……。なんか覚えやすい方法とかないかな?

一番いいのは教科書を読んで内容を理解し、参考書などの例題で実際に使ってみることです。理解しないまま覚えてもすぐに忘れてしまいますし、実際に使ってみないと本当に身についているのかどうか判断ができません。三角関数のなかでひとつでも不安な公式がある人は、まず教科書を読み、例題などを解いていきましょう。

さきさきやる気
ちゃんとやるのが一番近道ってことね。
加法定理、2倍角の公式、半角の公式、三角関数の合成は何よりも先に勉強しよう!

教科書の内容を理解できていない人は以下の記事を読もう!
「数学わけわからない……。」「中学までは得意だったのに……。」そんな思いでこのページにたどりついた人も多いのでは。この記事では、数学の基礎の基礎、教科書レベルの問題を解く力を身につけることができる、最 ...... 続きを読む≫

②公式を身につけよう!

さきさき怒る表情
この章なんなの?もう公式覚えたんだから早くセンター対策しなきゃ。
やる気があるのはいいことだが、ちょっと落ち着け。公式を覚えたことと、公式を使えるようになることは大違いだ!覚えただけの状態でセンター対策をしてもうまくいかないぞ。
さきさき怒る表情
センター対策とかしてれば使えるようにもなるんじゃない?
それは圧倒的に効率の悪い勉強法だ。たしかに時間をかければそれでもできるようになるかもしれないが、目指しているのは最短で点数を上げることだろう?だったらきちんと方法を考えないとな。
さきさき怒る表情
うーん……。たしかにそうね……。じゃあ勉強法を教えてよ。

教科書で公式を覚えたら、チャートやフォーカスゴールドの基本問題を演習していきます。この勉強はできるだけ早い時期から行いましょう。一番いいのは三角関数を習ったとき、教科書の理解と同時に演習します。それができなければ定期テストの前や長期の休みなどにまとめて勉強しましょう。

公式を使えるようになるための具体的な勉強法はこの記事を読んでくれ!
数学定石理解
案件期末テストで終わらない本物の数学力を身に付けたい! 戦略01 定石ってなに?なぜ定石を覚えるの? 戦略02 なにをすればいいの? ※サイトが正常に表示されない場合には ...... 続きを読む≫

③センター試験対策!

さきさき泣く表情
え……。うそでしょ……?
どうした、さきさき?
さきさき泣く表情
なんでもないです……。
そんなことないだろ。僕に丁寧語を使うなんて一大事だ。
さきさき慌てる表情
はあ……。あの、センター解いたんだけど、三角関数が難しすぎて……。
なるほど。センターの問題はたしかに簡単じゃないな。
さきさき慌てる表情
やっぱり!?あー……でもどうしよう……。

センター試験の問題は教科書の問題よりも様々な要素が入っており、間違えてしまうことも多いです。そんなときには、間違えた理由を分析しましょう!

センター試験で出題される三角関数の問題は、

(1)まず公式を使って式を簡単な形に変形させ、

(2)戦略2で紹介したような基本の2パターンの形にして解く

という2段階構成のものがほとんどです。

ですから、自分ができなかったのは、(1)なのか(2)なのかを判断しましょう。

(1)ができていなければ教科書で公式を覚えた後にチャートなどで勉強します。

(2)ができていなければ置き換えができなかったのか、式が解けなかったのかなどの分析をし、解けるようになるまで復習しましょう。

(2)ができなくて困っている人はこの記事も読んでくれ!

青チャートカリキュラム(執筆中)

センター試験は似たような設定の問題や、考え方が同じ問題が何度も出題されます。ですから、センター試験で高得点をとるためには、一度解いたことのある問題を2回目以降で間違えないことが重要です。間違えた問題はしっかりと復習して、解けるようにしておきましょう!

④2次試験対策!

さきさき慌てる表情
センターレベルは解けるようになったんだけど、2次試験がやっぱりどうもうまくいかないな。

青チャートやフォーカスゴールドを一通り解いたけれど、2次試験レベルになるとうまくいかないという人は問題演習の量を増やしてみましょう。これは三角関数に限らず数学のあらゆる分野でいえることですが、問題演習しなければ学んだことを生かせるようにはなりません。いまから紹介する参考書で練習していきましょう!

(1)青チャート 数学Ⅱ

青チャート数学Ⅰ・A

★2~3だとセンター試験レベルの典型問題ですが、★4~5になると応用問題や入試レベルの問題がそろっています。典型問題を練習したら、そのまま難しい問題にも挑戦しましょう!

(2)文系数学の良問プラチカ 数学1A2B

 

文系数学の良問プラチカ

解説の丁寧さで長く支持されている参考書です。わからなかった問題でも解説をしっかり読めば自分一人で演習が積めます!使う時期としてはチャートが終わってからで大丈夫。定石が身についてから入試問題の演習に入るまでに勉強しましょう!

プラチカの具体的な使い方はこの記事を参考にしてくれ!

応用演習リンク(執筆中)

2次試験で数学を使う人は早めから演習量を増やしていこう!

以上が三角関数の勉強法だ。まずは公式を覚え、問題演習を通じてそれを自分の知識にしていくんだ。さきさき、できそうか?
さきさき喜ぶ表情
あたりまえじゃん!
元気がいいな笑

この記事を読んでもわからないことがあったら、LINE@で気軽に質問してくれ!

それでも勉強法がわからない!という人は

赤神透公式LINE@

三角関数のもっと細かい覚え方のコツとか知りたい!数学のもっと具体的な勉強法を教えて!そんなときはLINEで質問!このほかにも限定コンテンツを配信中!まずは友だち追加↓

友だち追加

ペン画像まとめ

今回の記事のポイントをまとめておくぞ!
  • まずは三角比の復習から!
  • 公式は教科書で理解し、問題集で使って覚えよう!
  • 「三角関数を用いた方程式・不等式」と「三角関数の最大・最小」の2パターンをマスターしよう!
line@

大学受験や勉強に関してお悩みの方は、気軽にLINEで無料相談!

友だち追加

「記事を読んでも悩みが解決されなかった……」
「この時期に今の成績で、志望校に合格できるの?」
「この分野が苦手なんだけど、おすすめの参考書は?」
など、どんなことでもお気軽に無料でご質問いただけます。


ご覧いただける主なコンテンツはこちら!
・ほかの受験生の質問と、それに対する回答をあなたも見れる!
・編集部イチ押しの記事を紹介してもらえる!
・無料イベント情報など、登録者だけに先行公開!


毎週20通以上のお悩みをいただいています。
まずはお気軽にご登録ください!


これまでに寄せられた質問はこちら!


友だち追加