こんばんは！
学習塾STRUX塾長で、ストマガを監修している、橋本拓磨です。
今週は、先週好評だった「勉強法」シリーズで引き続き「数学の勉強法」についてまとめ直しておきたいと思います！
数学も学校によっては授業の進度がパツパツで、特に理系の人はただでさえ数3難しいのに、いつになったら終わるんだろう……と不安に感じている人も多いのではないでしょうか。
文系の人で数学を使う人も、一通り範囲は終わっているけど、なかなか数学の勉強に手が回っていない……という人もいるのではないでしょうか？
今週は数学の勉強法について、僕がやっている学習塾STRUXで随時更新している最新のカリキュラムをもとに解説していきます。数学は実は「暗記」が大事？という話だったり、どういうペースで対策すればいいのか、志望校によってどういう対策をすればいいのか、といった話をしていければと思うので、これから数学に本腰を入れよう！と思っている高2生はもちろん、高3生で焦り始めた人もしっかり読んでここから立て直してみてくださいね。
そもそも数学ってどういう科目？
まずは簡単に、数学がどういう科目なのか？どうやって点数を上げていくものなのか？という点に触れていきましょう。
「数学は暗記不要」は大間違い
数学といえば、「文章を読んで解き方を思いつけるかどうか」が勝負だとよく考えられます。公式もたくさんありますが、学校の授業で「こういう公式は自分でも導けるようになるべき」「覚えてなくても導けるから問題ない」というふうな話を聞いたことがあるかもしれません。こうした印象から、「数学は暗記科目」と言われると「いやそれは違うよね〜」と思うはずです。
ですが、だからといって「数学に暗記は不要」かと言われると、それは全くの間違いです。
例えば三角関数の加法定理の公式や合成の公式。
$ \sin{ ( \alpha + \beta ) } = \sin{ \alpha } \cos{ \beta } + \cos{ \alpha } \sin{ \beta } $ とか、 $ a \sin{ \theta } + b \cos{ \theta } = \sqrt{ a^2 + b^2 } \sin{ ( \theta + \alpha ) } $ とか、先生が言うようにいちいち導出するのは面倒ですよね。
数学の試験は時間がカツカツになってしまうことが多いですから、貴重な時間をこうした公式を思い出すことに費やすべきではありません。
「自分でも導ける」というのはもちろんですが、公式は必ず覚えておかないと本番時間が足りなくなるということは頭に入れておいてください。
数学の入試問題は「青チャート」を見ながら解ける「定石問題の組み合わせ」
「公式を覚える」だけでなく、実は「解法」も、暗記すべきもののひとつなのです。
もちろん、青チャートなどで取り組んだ問題と全く同じ問題が出題される可能性は限りなく低いです。
しかし、実際の入試問題は、こうした青チャートなどで出てくる問題の解法が完璧に覚えられていないと解くことが出来ないというのも事実。
というのも、数学の入試問題は、「青チャート」「FocusGold」などの分厚い問題集や「基礎問題精講」「大学への数学1対1対応」などで出てくる基本的な問題が組み合わせて出題されるのが基本だから。
青チャートなどに掲載されている「よくある問題とその解き方」のことを「定石問題」（じょうせき問題）といいますが、難しく感じるのは、この定石問題がそのまま出されるのではなくいくつか組み合わされて出題されるから。受験生はこの「どの解法を組み合わせれば解けるのか？」を見極めて、定石の解き方を当てはめながら解く必要があるのです。
例えば、この問題。
東京大学2019年入試数学第3問（文系）
パッと見て数学が得意な人は、「え、これ東大の問題？」と思うかもしれません。比較的よく出る問題で、たしかに青チャートにも、このような同じような問題が出題されているんです。
演習を6等分する点を時計回りの順にA、B、C、D、E、Fとし、点Aを出発点として小石を置く。さいころを振り、偶数の目が出たときは2、奇数の目が出たときは1だけ小石を時計回りに分点上を勧めるゲームを続け、最初に点Aにちょうど戻った時を上がりとする。ちょうど1周して上がる確率を求めよ。
(青チャート1A 新課程 P349)
コインがサイコロになっていたり、1周というふうに進み方が違いますね。でも「図形の上の点をぐるぐる回る」という点では同じです。
もう一つ、こちらの問題も見てみましょうか。
$ x $軸上を動く点Aがあり、最初は原点にある。硬貨を投げて表が出たら正の方向に1だけ進み、裏が出たら負の方向に1だけ進む。硬貨を6回投げるものとして、次の確率を求めよ。
(1) 点Aが原点に戻る確率
(2) 点Aが2回目に原点に戻り、かつ6回目に原点に戻る確率
(青チャート1A 新課程 P346)
こちらは円ではないですが、コインの裏表で進む方向が変わります。いわゆる「ランダムウォーク」と言われる問題ですね。
青チャートを穴が開くまでやり込んでいたら、東大の問題をパッと見ただけで、「あ、これは円の上での点の移動で、コインだから1/2、反復試行だから……」と条件を整理できるわけです。
東大の中では簡単な問題で、正直この年はこの問題が取れていないとしんどいんですが、きちんと基本を理解して定石の解法を覚えていれば、10分もかからずに解けた問題です。
定石の重要性はわかりましたが、ではどうして「覚える」必要があるのでしょうか？
もし、みなさんが「青チャートを見て解いていいよ！」と言われたら、先程の問題、解けそうですかね？
上の2つの例題と、もし足りないとしても余事象の確率の部分を見れば、解法はすぐわかりそうですよね。いわば青チャートのような定石の問題集が、数学における「辞書」の役割を果たしているというわけです。
ただ、もちろん本番は青チャートを持ち込むことは出来ません。つまり、限られた時間の中で解法を頭から引き出さないといけないわけです。
英語で毎回辞書を引かずに覚えていた単語を引き出すのと同様、数学でも解法をすぐに引き出せるようにする必要があるから、青チャートの解法をしっかり刷り込んで覚えていく必要があるんです。
解法が出てくれば、あとは計算するだけですから、計算力、解答作成能力さえ上げていけばOK、というわけです。
数学の点数を構成する3つの要素
ここまでの流れを踏まえて、数学の性質・入試問題を解くのに必要な要素を再度整理していきましょう。
問題の要素分解能力
まず第一に、「問題を要素分解する力」が必要です。東大の問題で言えば、「正八角形の頂点をコインの裏表で回る」こと、「操作を10回行う」こと、「コインの裏表で右左どちらかに動くので、戻る可能性もあること」などを分解して理解する必要があります。この時点で、青チャートの先程の2問が「あ、似たような問題解いたことあるな」と思い出せるかどうかがポイントです。
この「問題の要素分解」が問題によっては非常に難しいため、このあたりは入試問題を実際に解く中で身につけていかなければいけません。
解答の方針の作成力
要素分解ができたら、それをもとに解答の方針を作っていきます。要素分解したものと定石問題を照らし合わせて、必要な手順をしっかり思い出すことが、ここに当てはまります。先程の問題だと「事象Sが起こるということは10回の操作でもとに戻る場合だから、パターンを洗い出して、それぞれ反復試行だから$ {}_10 \mathrm{ C }_k \left( -\frac{1}{2} \right)^k \left( -\frac{1}{2} \right)^{ 10 – k } $のかたちにすればいいな」というふうに考えられる力のことですね。
計算力
ここまでいけたら、あとは解答に落とし込むだけです。ここではもちろん、一部試験では答案の書き方なども求められますが、最も重要なのは「計算力」です。
記述式の大学によっては多少計算間違いがあっても減点は少ないことが多いですが、共通テストや答えのみ求める問題では計算間違いは致命的です。せっかく方針を立てて解答まで出せる状態なのですから、計算部分で引っかからないように力をつけておく必要があります。
数学の点数を上げるためには、これらの3つの要素をバランス良く上げていくことが重要ですし、どの順番で上げていくかということも大事な要素になります。
ここからは、バランスよくこれらの能力を高めていくための勉強法をお伝えしていきましょう。
数学の勉強法ステップ
数学の勉強はやることが膨大になってしまいがち。うまく整理して、ペースを把握しつつ進めていかないと、前半に終わらず中途半端……ということも起こってしまいます。
まずはしっかり勉強法のステップと注意点から確認していきましょう。
数学の勉強法1：基本の教科書理解
基本的な流れは他の科目と変わらず、まずはしっかり「基本的なことを理解する」ところからです。
「三角関数とは？」「指数・対数とは？」「微分・積分ってなにやってるの？」といった基本的なところ、「どうやって計算するの？」といった部分を理解していないと、定石を身につけることはまずできません。いくら定石を覚えると言ってもこれでは丸暗記になってしまい、試験で使えないということになってしまいますから注意しましょう。
ここでいう「理解」は、「教科書レベルの問題がスムーズに解けるようになる」ということ。教科書の例題レベル、青チャートなどで言えばコンパスマーク1〜2の問題ですから、このあたりをスムーズに解けるようになっているか、そもそもなぜそういう解き方になるのか理解できているかがポイントです。
基本的にはこの「教科書理解」は学校の授業をフル活用して進めてほしいです。他の科目と比べて数学は学校の授業がペース通り、かつ順番に進むからです。特に数学は新しい概念をたくさん知る必要があり、独力で予習をするのも一苦労ですから、学校のペースに合わせて学校の授業でインプットができればそれが最善です。
ペースについては後ほどお伝えしますが、文系であればたいてい高2までで前半に終わるまでそこまで問題ありません。理系で数3が終わらないとか、文系でも数学は配点が高くもっと前からやっておきたいという人は、多少自分で予習を進める必要があります。
このとき、教科書を自分で読み進めてもよいのですが、先述の通り教科書だけだとなかなか理解しづらいことも多く、間違った覚え方や解き方をしてしまうこともあります。数学の予習はスタディサプリなどの映像授業を見て取り組むことをおすすめします。
基本的にはスタディサプリの「高2スタンダード数学」などで、学校でやる範囲を事前に見ておき、練習問題なども合わせて解いておくだけでも良いです。もっと前倒しで予習をするという場合、定石理解とも並行させながらやらないと忘れてしまうこともあるため、後でまとめてお伝えします。
スタディサプリでわかりにくいという場合は「Try-IT」などの映像授業でも構いません。わかりやすい授業を使ってほしいですが、なるべくきちんとした予備校講師が話している動画を使うのがよいでしょう。塾に通っている人は宿の授業でもOKです。
このとき、授業を受けるだけでなく必ず簡単なものでいいので問題も解いてください。スタディサプリであれば演習問題がついていますが、ついていないものであれば教科書の問題を解くなどでもOKです。
1つの分野のインプットが終わったら、次の定石理解に移ります。
数学の勉強法2：定石理解と定着
1分野（「確率」「三角関数」など）のスタディサプリ視聴が終わったタイミングで、もしくは学校の授業であればその日にやった範囲を、「定石問題」の演習用教材で復習していきます。教材としては
- 「青チャート」
- 「黄チャート」
- 「FocusGold」
- 「基礎問題精講」「標準問題精講」
- 「大学への数学1対1対応演習」
などです。それぞれレベルが多少違いますが、大きくは変わらないためどれを使っても良いでしょう。
チャート式やFocusシリーズと比べると、基礎問題精講などは問題数が少ないですが、その分厳選されているため「時間がない人」「チャートだと分厚くてやる気が出ない人」はこれらを使っても全然OKです。
この「定石問題」の問題集は解き方が重要です。しっかり解法を定着させないといけないので、何度も繰り返しとくことが重要です。
ポイントは、「間違えたらその場でもう一度解き直す」こと。よく「間違えたら解答を見ているけど、見ただけでわかった気になってしまう」ということが起こります。それだと次に解くときに結局解き方が身についていないということが起こりやすいため、必ずその場で手を動かし、思い出すようにしましょう。
具体的なステップとしてはこんな感じ。
- Step1
- 例題に取り組む
- Step2
- 1分考えてわからなければ、問題の下にある「指針」などを見て再度考える
- Step3
- それでもわからなければ解答を見て、なぜこの答案になるのか理解する
- Step4
- 解答を隠して再度例題を解き、採点する
- Step5
- 演習問題がついていればそれに取り組む
- Step6
- 答え合わせを行い、間違えた場合は解説を読んで解き直し
これらを1ページ20分から30分でできるようになりましょう。このように何度もその場で解き直すこと、例題と演習問題の両方を解くことでその問題に対する定石の解き方を覚えていくことが大事です。
もうひとつ気をつけてほしいのが、例題の解法を考えるのに時間をかけすぎないこと。
よく「数学の解法をしっかり考えることは大事」ということを言われますが、正直定石問題レベルの解法は考えたところであまり意味がありません。全く意味がないわけではないですが、10分も20分も悩むくらいなら解法を見て理解し、覚えてしまったほうが早いです。本番でもこのレベルの問題であればぱっと解法が出てくるべきですから、ここに時間をかけすぎないようにしましょう。
計算演習も忘れずに
意外と忘れがちなのが計算の練習です。「定石問題を間違えたらその場で再度解き直す」というのも、この計算の正確性を上げることが理由の一つです。そのため、たとえ計算ミスだったとしても「たかが計算ミスだし、見直せば大丈夫でしょ！」とするのではなく、必ず解き直しをしましょう。
計算力には「正確性」と「スピード」の2つの注意ポイントがあります。どちらにも影響するのが「計算のコツをしっかり踏まえて、面倒な計算を避ける」こと。あえて約分しないまま計算を進めるとか、積分のときに対称性を利用するとか、式の性質を理解しておいて簡単に検算できるようにするとか、そうした細かい所の積み重ねが重要になります。
もし比較的時間があり、かつ計算ミスが多くて悩んでいる、という場合は、「合格る計算」「カルキュール数学」「計算革命」などの問題集を使ってみてもいいでしょう。特に数3は複雑な計算が多く、かつ計算でほとんど点が決まるような分野も多いため、念入りに確認しておけるといいですね。
数学の勉強法3：入試問題演習
ここまでの定石問題をすべての範囲についてやりきったら、入試問題の演習に入ります。
入試問題演習とは、身につけた定石問題を活用して実際の入試問題を解くことで、いわば「数学で問題を解くのに必要な3要素」の実践演習です。
そのため、使う問題集も
- 「良問プラチカ」シリーズ
- 「重要問題集」
- 「上級問題精講」
- 「入試問題集」シリーズ
など、実際の入試問題が収録されているものを使うようにします。
これらの問題を入試直前までなるべく多く解きながら、問題文の要素分解や定石の当てはめを訓練していきます。
問題集の使い方は基本的に同じで、必ず間違えた問題はその場で解き直すことを変わらず実行しましょう。
「問題文を要素分解して解法を見つける」訓練なので、定石理解のときよりは問題文を見て考える時間が長くなってもOKです。10分ほどかけてもOKですので、どういう解法があったか、何が使えそうかというのをしっかり思い出す意識を持ちましょう。
そして、解説等を見てわからなかったり、抜けている定石部分があれば、必ず定石問題に戻って印をつけたり、それを解き直したりしてください。
数学の勉強はペース配分が重要
数学の勉強法は一通りお伝えしましたが、一番悩みがちなのは「ペース配分」です。
いつまでにどのくらい終わらせればいいのか？ということだけ最後にお伝えしつつ、ざっくりとした「目標到達点」もお伝えできればと思います。
文系のペース配分と目標点数
文系の人は数学1A/2Bのみが必要なので、学校の授業が多くは2年生の間に終わり、3年次は演習を積み重ねることが多いです。そのため、ペース配分はそこまで気にしすぎなくても問題ない場合が多いです。学校の授業のペースで理解を進めていき、もし忘れていたり苦手だったりするところがある場合はそこを高3の7月中旬までには潰しておくようにしましょう。
共通テストでのみ使用するという場合は、定石問題で中級より少し上、青チャートだとコンパスマーク3から4あたりまで解ければよいでしょう。これを夏前までに全範囲完璧にして、夏からセンター過去問や共通テスト特化の問題集で穴埋めをしていくかたちでOKです。
2次試験で使用する場合は、受験する大学の難易度によって調整する必要がありますが、基本的には「良問プラチカ」「入試問題集」のレベルまでは必須でしょう。MARCHレベル以下の私大を数学で受験する場合は、問題の難易度と言うよりも「センター試験と同じ時間で、1.5倍の量の問題を解く」くらいのスピード勝負だと思ったほうが良いですから、捨て問題をきちんと見極める力を過去問・問題集を通して身につけていきましょう。
ただ、そもそも「私大の数学」は結構難しいですから、数学がよほど得意でなければ社会受験をおすすめします……。
国公立の2次試験では「確率」「図形と方程式」「微積」あたりは難関大であればあるほどよく出されるので、特に重点的に対策をしましょう。このあたりの大学を受ける場合は夏が始まる7月頃には入試問題演習に入っていたいです。
そして、どの人にもあてはまることですが、ぜひ定期的にセンター試験の過去問を解いたり過去問を解いたりして実力を測るようにしましょう。旧帝大レベルであれば夏前に「センター過去問で時間を気にしなければ満点取れる」レベルの数学力はつけておいてほしいですし、それ以外の場合も夏明けにはセンターで解けない問題はない、というレベルに達していてほしいです。
文系の数学の勉強法については、以下の動画でも解説しています！
理系のペース配分と目標点数
理系の人で数3まで必要となると、話は変わってきます。多くの学校では高2の秋〜冬くらいから数3に入りますが、終わるのは高3の夏前もしくは夏明けです。夏前に全範囲やってくれる場合はそこまで切羽詰まって予習をする必要はありませんが、夏明けまでかかる場合は終わらない範囲を夏前に予習しておくようにしましょう。夏にしっかり全範囲の演習が出来ないと入試に間に合わないためです。
そして、これだけキツキツのスケジュールなので、文系の人と比べると約半年、演習できる期間に差ができてしまいます。その上量も多いため、理系の場合は早くから計画的に勉強をしておかないと間に合わないという事態になります。さらに、数3は特に数学1A2Bがベースになって、それより「一回り応用」したものが多く出されています。そのため数学1A2Bが疎かになっていると数3で置いていかれる、ということにもなるので注意が必要です。
とはいっても、ものすごく前倒しをしないといけないというわけではなく、きちんと学校のペースに合わせて習った範囲を完璧にしていくということ、そして長期休みごとにしっかり復習をしていくことの2つを意識するだけで大きく変わります。学校でやった範囲の復習（教科書やチャートの簡単な問題）をその日のうちにこなし、週末に少し難しい定石問題に取り組むこと、長期休みでそれまでの範囲の定石問題を再度解き直すこと。これを進めて文系同様夏前に「センター過去問で時間を気にしなければ満点取れる」レベルの数学力がつくことを目指してください。
もちろんこれでもギリギリのスケジュールではあるため、前倒しできる人はそれに越したことはないですから、スタディサプリなど活用してどんどん先に進んでもOKです。
理系数学の勉強法については以下の動画でも解説しています。
場合によっては対策範囲を絞ってもOK
とはいえ、「今更もうそんな時間ない……全範囲終わらない……」なんて人もいるはず。そういう人は最終手段ではありますが、ある程度対策する範囲を絞ってもOKです。
特に理系の場合ほとんどの大学で数3＞数B＞数A＞数2＞数1の順で頻出度に差があるので、分野を絞ってもある程度点を稼ぎやすくなっています。もちろん共通テストでは全範囲必要ですからそこは仕方ないですが、2次試験に限れば理系なら数3「極限」「微積分」、数B「数列」「ベクトル」、数A「確率」「整数」、数2「図形と方程式」が繰り返し出ているという場合も多いです。最近はこれに複素数平面がプラスされていることも多いですね。
もちろん大学によって「ベクトルは出さない」「複素数平面が毎年出る」といった傾向もありますから、必ず過去10年分ほどの過去問をチェックして出題傾向を見るようにしましょう。
もちろん数3をやるためには数1A・2Bなどの範囲はマストですから基本的な部分は固める必要があります。「入試レベルの問題や定石問題をどこまでやりきるか？」の目安にしてみてください。
数学の勉強法についてお伝えしました。結構細かい所も多いですが、今からでも焦らずしっかり対策していきましょう！
学習塾STRUXはいつでもオンラインでの無料体験＆授業を実施しています。休業要請が外れたため校舎でも実施中です！無料体験で勉強法についても解説しているので、ぜひお気軽にご相談ください！
それでは！
ライター：橋本拓磨
東京大学法学部卒。学習塾STRUX塾長・STRUX大学受験マガジン監修。日本全国の高校生に、場所によらず正しい勉強を広めて、行きたい大学に行き、将来の選択肢を広げてほしい！という思いからSTRUXマガジンを監修。
詳しいプロフィール・サイトにかける思いはこちらから！
他の連載記事を見る！
Twitterはこちら
ストマガのYouTubeチャンネルはこちら
