数学勉強法

【数学1】2次関数勉強法|センター数学頻出の2次関数をマスターするポイント

「大学受験オンライン戦略会議」、略して「オン戦」では、学習塾STRUX塾長である綱島将人監修のもと、第1志望校合格のための勉強法や勉強に関するコラムを、"受験計画"を通してわかりやすくお伝えしています。高校生のマルオをはじめとするキャラクターたちと、合格への"最短距離"をすすんでいきましょう。

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高校数学最初の難関である2次関数。苦手な人も多いのではないでしょうか。2次関数は、今後の高校数学のいろんな分野で当たり前にその考え方や計算を使います。それに、センター試験にも頻出です。この記事では、「2次関数とは何か」から具体的なパターンや勉強法にいたるまで、詳しく解説。2次関数をどうにかしたい、という人は必見です!

2次関数勉強法 高校数学最初の難関、 2次関数の勉強法&コツがわかる。

さきさき慌てる表情
赤神先生!!この問題がまったくわからない!!
どれどれ……?

 y = x^2-6x+5 (0≦x≦4) の最大値と最小値を求めよ

ああ、よくある2次関数の問題か。
さきさき泣く表情
あ、それ!2次関数。学校で習ってもぜんぜんわかんない。
2次関数は、高校数学の最初の壁ともいえるから、まあ無理もないな。だが同時に、この後高校数学を学ぶ上での核になる分野でもある。だから理解していないと……。
さきさき慌てる表情
やばいってこと……。
そういうことだ。でも実は、2次関数の問題パターンはそこまで多くないから、きちんとコツをつかんで対策をすれば、案外はやく習得できる。今回は、そのパターンとコツを教えよう。
さきさき泣く表情
お願いします!

戦略01 そもそも2次関数って何??

さて、2次関数の勉強法の説明に入る前に、そもそも、

さきさき怒る表情
2次関数ってなんじゃい!!(逆ギレ)

という人も多いでしょう。そんな人のために、2次関数を解く上で必要な用語や基本事項を軽く説明しましょう。そんなのはさすがに余裕、という人は、とばして戦略02にいっても構いません。

2次関数とは

まず、関数には、「変数」と呼ばれるものが含まれます。

変数は、その名の通り、「変わりうる数」のこと。1なのか2なのか10000なのか、どんな数字が入るかわからないので、xやyといった文字を用いて表します。(ちなみに変数の対義語は「定数」と呼ばれ、これもその名の通り「定まった数」なので、値が1つにあらかじめ決まっています。)

そして、そのxの値が1つに決まったとき、同時にyの値も1つに決まるとき、yはxの関数である、という言い方をするのです。これを数式で書くと、 $y=f(x)$ と表します。

xの値が定まれば、yの値が決まる、ということは、yはxを用いて表せる、ということですね。たとえば、y=2x+1と表せるなら、xが1であればyは3に決まります。つまり、関数とは、簡単に言ってしまえば、

関数=“xとyの関係を表す式”

なのです。数学的に厳密な定義ではありませんが、苦手な人はまずこれで構いません。

ではなぜ、「2次」関数と言うのでしょう?さきほどy=2x+1という式が出てきましたが、これはどういう関数でしょう??

さきさきやる気
はい!はい!1次関数!!(どや)

そうです。中学でやりましたね。y=2x+1ではyはxの1次式で表されています(1次式というのは変数に2乗とか3乗とか√とかがついていない式のこと)。ということは……。

2次関数=“yがxの2次式で表された関係式”

というわけです。たとえば、$y=x^2-3x+1$はまさに2次関数です。

定義域と値域

さきさき通常の顔
変数ってどんな値でもいいんですか?数って無限に続くんですよね?

サキサキのように、変数ってどんな値でもいいのか?と気になる人もいるでしょう。

まず、問題で特に指定がなければ、変数の取りうる値は、実数の範囲では自由です。

ですが、たとえば問題の中で$0\leqq x \leqq2$のように指定があるときがあります。このように、変数のうち$x$のとりうる値の範囲のことを,定義域、逆にyのとりうる値の範囲のことを値域といいます。

平方完成

2次関数でよく使う重要な式変形に「平方完成」というものがあります。

さきさき泣く表情
は?へいほーかんせー?なにかが完成するの?

カンタンに言えば、2次関数はさきほどの問題にもあった通り、$y=x^2-6x+5$のように、$y=ax^2+bx+c$という形で提示されることがほとんどです。

しかし、2次関数のグラフをかくときなど、このままでは困ることがあります。そこで、この式を$y=a(x-p)^2+q$という形にするのです。これを平方完成と言います

さきさき通常の顔
で、結局なんのイミがあるわけ??

この式の形にすることで、2次関数のグラフ、すなわち放物線の軸と、頂点の座標がわかるわけです。さきほどの式で実際にやってみると、

$y=(x-3)^2-4$

のような形になるんですね。この場合、軸はx=3、頂点の座標は(3,-4)になるわけです。これで、2次関数のグラフをかくことができます。

さきさき通常の顔
ふーん。なんかとりあえずキホンはわかった、ってカンジ??
よし。基本をおさえたところで具体的な問題のパターンを見ていこう。

戦略02 2次関数のお決まり問題3パターン+コツ

さて、2次関数の基礎を学んだところで、いよいよ本題だ。まず強調したいのは、2次関数の分野で習う問題は、大きく分けてたった3つ、ということだ。
さきさき慌てる表情
ええ!?それだけ??
ああ、この3つだ。
  • 2次関数の最大値と最小値を求める問題
  • 2次関数と直線、あるいはx軸との位置関係に関する問題
  • 2次関数を平行移動する問題
さきさき泣く表情
あんまりピンとこないですね……。
1つ1つ説明していこう。

2次関数の最大値と最小値を求める問題

もっとも頻出なのがこれ。最初にサキサキが悩んでいたのもこのタイプの問題でした。

このタイプの問題でのポイントは、たった2つのキーワードに集約されます。
それは、「定義域と軸の位置関係」「グラフを描く」です。

定義域と軸の位置関係

まずは、「定義域と軸の位置関係」について。以下の2つの放物線は、同じものですが、定義域が違います。さて、最小値は同じでしょうか?

y=x*2-2x+3(0<=x<=3) y=x*2-2x+3(2<=x<=3)

答えは、左の方の最小値は2で、右の方では3ですので、最小値は異なります。ではなぜ違うのでしょう?

これは、頂点、すなわち軸の値が、定義域に含まれているか含まれていないか、による違いです。

下に凸の放物線をパッと見たら、頂点の部分、すなわち軸で最小値をとりそうなことはすぐわかるでしょう。しかし、その頂点のx座標が定義域に入っていなければ、その部分は存在しないも同然なので、違うところに最小値がくるわけです。

では、上の図の左の放物線の最大値はいくつでしょう?最小値は頂点ですから簡単でしたが……。

ポイントは、放物線が左右対称である、という点にあります。左右対称ということは、軸から離れるほど、どんどん値が大きくなっていく、ということですね。

つまり、候補は定義域の両端の2つの点でしょう。このうち、より軸から離れている方を選べばいいのです。

さきさき笑う表情
なるほど~。最大値と最小値を求めるときには、軸と定義域が大事ってことですね!
その通り!① 軸が定義域に含まれているかどうか、② 軸からどれだけ離れているか の2つに注目すれば、あとは単純だ!

グラフを描く

次に、「グラフを描く」について。2次関数を図形的に表すと放物線になる、というのはさきほど戦略01でやりましたが、最大値と最小値を考える上で、グラフを描くことは超重要です。

せっかくなのでサキサキが悩んでいた問題を例にとってみましょう。

y = x^2-6x+5 (0≦x≦4) の最大値と最小値を求めよ

これを瞬時に解ける人は、そうそういません。けれど、次のようになっていたらどうでしょう。

答えとなる最大値と最小値はともかくとして、$x$がどんな値のときに最大or最小になるかは、一目瞭然ですね。このように、グラフは、視覚的に最大値と最小値をとる場所を把握する上で、とても役立つのです。

そして、実はグラフは、自分にとってわかりやすいだけでなく、答案を記述式で書くときに、採点者にとってわかりやすい答案を書くのに必須のものでもあります。なぜなら、視覚的に一発で、この答案は何をしているのかがわかるからです。そのため、グラフを描くだけで部分点がもらえたり、逆に描かないと逆に減点されたりすることもあります

さきさき慌てる表情
え!じゃあ自分にもわかりやすくて、点数ももらえて、一石二鳥じゃないですか!あ、でも、グラフ描くの結構めんどうくさくないですか?

サキサキのように思う人もいるでしょう。確かに、x軸とy軸を描いて、x切片やy切片に注意しながら放物線を描いて……、というのは手間がかかります。それに、参考書に載っている図と違って答案は基本黒一色しか使えないので、定義域や最大値をとる点を赤で塗って……といったこともできません。

だが、黒一色でも、簡単に、かつわかりやすいグラフは描ける!以下の手順に沿っていけば完璧だ!

①放物線のおおまかな形描く(ポイント:x軸とy軸は描く必要なし!!) ②軸を表す点線を入れ、軸の方程式を記す ③定義域があれば放物線の一部を太くする(ポイント:軸より左か右か、そして両端の値の大小関係だけ守れば、位置はどこでもOK) ④最大値と最小値をとる点を黒丸で示す

さきさき喜ぶ表情
たしかに!これなら簡単でわかりやすいですね!
そうだろう。繰り返すが、グラフは、自分の頭の中を整理するにも、良い答案を書くにも必須のものだ。かといってものすごく丁寧に描く必要もない。上の手順に従って、ササッと描けるようにしておこう。

最大値・最小値を求める問題では、 「定義域と軸の位置関係」 「グラフを簡潔に描くこと」 が重要!

2次関数と直線、あるいはx軸との位置関係に関する問題

まず、2次関数と直線の位置関係に関する問題として、

放物線y=x^2+2x+aが直線y=x+4と共有点をもつような、定数aの値の範囲を求めよ。

……という問題があります。

わかりそうか?
さきさき通常の顔
う~~。aの値を変えながらグラフ描いて位置関係を探っていくとか?
うーん、それでも無理ではないが、とてつもない時間がかかるな。もっといい方法がある!

このときにポイントとなるのは、

放物線と直線の共有点と、2つの式のyを消去して得られる2次方程式の実数解には対応関係がある、ということです。

つまり、

放物線と直線が2つの共有点を持つ = 上の2つの式のyを消去して得られるx^2-x+a-4=0という2次方程式の実数解が2つ

と言えるわけです。2次方程式の実数解の個数を求めるときに使うのは……、そう、判別式ですね。

さきさき笑う表情
なるほど!判別式ならわたしもわかる~~!bの2乗マイナス4acですよね!
その通り。つまり放物線と直線の位置関係の問題は、結局は判別式を使うだけの問題、ということだ!判別式忘れた!という人のために、以下に補足を書いておこう。

2次方程式ax^2+bx+c=0(a≠0)の実数解の個数と、判別式D=b^2-4acの関係 ・異なる2つの実数解をもつ ⇒  D>0 ・ただ一つの解を持つ⇒D=0 ・実数解を持たない⇒D<0

次に、放物線とx軸との位置関係に関する問題。たとえばこんなかんじだ!

2次関数y=x^2-mx+m^2-3mのグラフが、x軸の正の部分と異なる2点で交わるとき、mの値の範囲を求めよ。

このタイプの問題では、たった3つのことに気をつければ良いです。それは、

  • 判別式
  • 端点の値

です。

さきさき慌てる表情
判別式と軸はわかりますけど、端点の値って??

端点の値とは、言葉を付け足すと、「注目している範囲の端の点の値」です。
上の問題では正の部分、というのが注目している範囲ですから、端点は$ x = 0 $の点、となります。

問題によっては、3つのうちどれかだけを調べれば答えにたどりつく問題もあります。それは演習をするうちに見抜く力をつけていきましょう。

いずれにせよ、放物線とx軸の位置関係についての問題では、判別式・軸・端点の値の3つに注目すれば、余裕で解ける

2次関数と直線の位置関係 →判別式 2次関数とx軸の位置関係 →判別式・軸・端点の値 を考えれば楽勝!

2次関数を平行移動する問題

たとえば……こんな問題

2次関数y=2x^2+6x+7のグラフは、2次関数y=2x^2-4x+1のグラフをどのように平行移動したものか。

さきさき泣く表情
うええ……。グラフを移動させる??2つのグラフをそれぞれ書いてみればいいのかな……。
それはとっても手間がかかるな……。

サキサキのようにグラフを実際に書いてみるのもありですが、それは面倒ですね。このタイプの問題は3つの中ではもっとも出題頻度が低いですが、おさえておくべきコツはあります。それは、

頂点の座標のみに注目する、ということです。

放物線が動く、と考えるとものすごく大きな複雑な動きに感じられるかも知れません。ですが、頂点でしょう。平方完成すれば、すぐに求まりますからね。よって、頂点に注目すれば、以下のように簡単に解けてしまうのです。

さきさき喜ぶ表情
頂点にだけ注目すればいいんだってわかると、ものすごくスッキリする!

 2次関数の平行移動の問題 →頂点の座標のみに注目すればOK!

どうだろう?3つのパターンを紹介してきたが、ちょっとしたコツをつかむだけで、一見難しそうな2次関数の問題も、グンと解きやすくなるんだ。
さきさきやる気
あれだけ難しく思えた2次関数が、カンタンに解けそうな感じがします!でも、やっぱりなんだかんだ好きになれないなあ……。
その気持ちもわかる。では最後に、なぜ2次関数を学ぶ必要があるのかを説明していこう。

戦略03 2次関数をマスターしておかないと……。

赤神先生が最初に言っていた通り、2次関数は高校数学最初の壁です。ですからつまずく人も多いわけですが、最初の壁だからこそ、しっかりマスターしないといけない理由があります。

簡単に言ってしまうと、それは、

2次関数で学んだことは、今後も当たり前に、それも頻繁に出てくるから

です。
たとえば、2015年度のセンター試験数学ⅠAの第1問はこんな感じです。


これ、すべて2次関数の問題です。配点は20点で、全体の5分の1を占めます。この年に限らず、センター試験の数学ⅠAに2次関数は何らかの形で毎年必ず出題されます

さきさき慌てる表情
マジ!!??

2次関数ができないとセンター試験で大量失点してしまうことは、言うまでもないですね。
さらに、今これを読んでいる皆さんが今後学んでいく高校数学の問題の一例をお見せしましょう。

・2次関数y=x^2-3x+4のa≦x≦a+2における最大値と最小値をaの式で表せ。

さきさき慌てる表情
定義域に文字が入ってる!?

・y≧x^2-3x+2の表す領域を図示せよ。

さきさき怒る表情
領域ってなに????

 ・y=x^3-6x^2+10 (-1≦x≦2)の最大値と最小値を求めよ。

さきさき泣く表情
3乗の関数!?!?

一番上の問題は2次関数の応用問題の典型例ですが、下2つは他の分野の問題です(それぞれ図形と方程式、微分法の内容)。

今これらの問題が解けなくても大丈夫です。知ってもらいたいのは、分野やレベルが違っても、平方完成の仕方、放物線の描き方、最大値最小値の求め方、放物線と方程式の実数解の関係などなど、2次関数で学ぶいろいろな基本的な要素をしっかり理解していないと、太刀打ちできないものが今後どんどん出てくる、ということです。

よって、厳しいようですが、2次関数でつまずいているくらいだとこの先の高校数学の学習も苦しくなってしまうのです。

さきさき泣く表情
うわあ……。やらなきゃ!!でもどうしたら……。
よし。さいごに、詳しい勉強法について解説しよう。

戦略04 2次関数マスターへの道―具体的な勉強法

ここでは結局2次関数をどうやってマスターしていくのか、勉強法を解説するぞ!

まずは、教科書や問題集を通して、基本事項の確認、および基本問題の演習を積んでいきましょう。

演習を積んでいるうちに、戦略02で教えた2次関数の典型パターンとコツを生かせることが実感できるでしょう。詳しい教科書や問題集の使い方は、以下の記事を参考にしてください。

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基本問題が終わったら、応用問題に移ります。教科書の章末問題や問題集を解いていきましょう。

2次関数の応用問題としては下のような、定義域に文字が含まれる最大最小問題や、関数に文字が含まれる最大最小問題が頻出です。これが解けるようになれば、2次関数はほぼ完成、と言っても過言ではありません

・2次関数y=x^2-3x+4のa≦x≦a+2における最大値と最小値をaの式で表せ。

このタイプの問題では、軸と定義域の位置関係をもとに場合分けをする、というのがポイント。

2次関数の分野に限らず、これは今後の高校数学でもよく出てくる考え方です。問題集には必ずこのタイプの問題はのっていますから、問題集の解説をよく読んで、自力で解けるようにしておきましょう。

人によって差はありますが、おそらく1度でこの問題をマスターできる人はほぼいないはず。3回は同じ問題を解き直して、しっかり習得しましょう。詳しい方法は、以下の記事を参考にしてくださいね。

数学問題演習基本の勉強法
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さきさき笑う表情
わかりました!頑張ります!
最後のまとめだ!

まとめ

☆2次関数の問題パターンとコツ

  • 2次関数の最大値と最小値を求める問題
    →定義域と軸の位置関係、グラフ!
  • 2次関数と直線、あるいはx軸との位置関係に関する問題
    →判別式・軸・端点!
  • 2次関数を平行移動する問題
    →頂点の座標だけに注目!

☆今後の数学でも、2次関数の分野で学ぶことは頻繁に使う!2次関数ができないと、他の分野にも悪影響が出てしまうので注意!

☆2次関数は、
基本事項の確認→基本問題の演習→応用問題の演習
の3ステップ。

☆特に、定義域に文字が含まれる最大最小問題や、関数に文字が含まれる最大最小問題が応用問題として頻出!軸と定義域の位置関係にもとづいて、場合分けをしながら解こう。

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