数学勉強法

【数学B】数列 勉強法|一般項、Σ…数列の分からないを解消します!

「大学受験オンライン戦略会議」、略して「オン戦」では、学習塾STRUX塾長である綱島将人監修のもと、第1志望校合格のための勉強法や勉強に関するコラムを、"受験計画"を通してわかりやすくお伝えしています。高校生のマルオをはじめとするキャラクターたちと、合格への"最短距離"をすすんでいきましょう。

サイトについてはこちら

数学の終盤で待ちかまえている強大な敵、そうそれが数列。「何をやっているのかわからない!」「入試本番までに対策ができなかった…」そんな声が多いのもこの分野です。一見複雑で難しそうな数列ですが、実はコツさえつかめば、スラッと理解できてしまうのです!

  • 紙画像
  • 案件
    文字ばかりの数列が苦手です…

さきさき慌てる表情
数列ってさ〜なんであんなにイミフなわけ??
今日は直球で来たな。どんなところがイミフなんだ?
さきさき怒る表情
イミフな場所がイミフっていうか…aとかnとか、文字ばっかりで何をやっているのか分かんないんだよね。
なるほど、確かに数列は文字が多くて、抵抗感があるかもな。でも一度理解してしまえば簡単だ!なぜなら数列は、求めようとしていることはとても単純だからだ!
さきさき慌てる表情
マジで言ってる??

※この記事では、数学Bにおける数列について解説します。無限級数など数学3の範囲については解説していないので、ご了承ください。

戦略01 数列のどこでつまづくの?

1-1.数列ってなに?

数列ってなんだと思う?
さきさき喜ぶ表情
aで書いてあるやつ!
やれやれ、それじゃダメダメだな。まずは数列全体で大切な視点を解説しよう。

数列とは…数が並んでいること!

1,7,22,40みたいに、幾つかの数が並んでいるものを数列と呼ぶんだ。
さきさき怒る表情
だけどさ〜、それだけだったら苦労しないよ!
その通り、数列のミソは、数字と数字の間に何かの規則があるということなんだ!
さきさきやる気
規則?
そう、となり合う数どうしの差が常に同じ(等差数列)、割り算した時の値が同じ(等比数列)、隣同士の差の値がまた別の数列になっている(階差数列)などの規則があるぞ!
さきさき慌てる表情
でも文字ばっかりで、数字なんてないよ?
$a_1,a_2$といったもの(項というぞ!)は計算すれば、何かしらの数字が入る。つまりさきさきが文字だって言っているものは、数字だと思って考えるんだ!
さきさき喜ぶ表情
なるほど、aは数字、aは数字…
そういう感じだ。そして右側にくっついている小さな数が、数列の中で何番目に出てくる数字なのかを表している。1番目が$a_1$、2番目が$a_2$、みたいに。

1-2 nは万能選手!

数列で一番問われるのが「n番目(第n項)を求めよ!」だと思う。
さきさき慌てる表情
そうそう!でもn番目ってどこにあるの?
例えば君が、「$a_1$から$a_{1000}$までどんな値をとるか、全部答えて!」と言われたらできるか?
さきさき怒る表情
時間が足りないし、何よりチョーめんどい!
その通り、いやだよな。でもこれはnを使えば、一つの式で答えられるんだ!
さきさき笑う表情
え、そうなの?
nというのは1でも300でも1000でも、どんな数にでも変身できますよ!という記号だ!どの数にでも変身できるから、$a_1$ も$a_{300}$ も$a_{1000}$も、同じ式で表せるということ。それが$a_n$だ!
さきさき喜ぶ表情
どんな数にでもなれるなんて、nってすごいね!
「どんな数も」というのは、「一般的に」と言いかえることができて、a_nは一般項と名付けられていることも覚えておこう!

戦略02 具体的な解説で、コツをつかもう!

2-1等差数列って何?

等差数列とは、となり合う数字どうしの差が常に同じになるような、数字の並び方のことです。

たとえば差が3だったら、1,4,7,10…みたいになるぞ!

これを数学っぽく表現すると、

$a_{n+1}-a_n=d$

となります。

さきさき喜ぶ表情
nとn+1はとなりどうしで、その差が一定ってことね!
等差数列がどんなものかわかったら、次は一般項の求め方だ!

一般項を求めるために必要な情報は2つ、初項公差です。

$a_1$と$d$のことだ!

等差数列は同じ数を何回も足していく(引いていく)という規則があるような数列ですから、出発点と足していく数がわかればいいのです!そして一般項は…

$a_n=a_1+(n-1)d$

となります。

2-2等比数列

等比数列とは、となり合う数字どうしを割ると、その商(割り算の答え)が同じになるような数字の並び方のことです。

要するに同じ数を何回もかけているということだ!

同じ数を何回もかけるといえば、例えば$3×3×3×3$を私たちは$3^4$
と表現しますよね。これを考えれば、一般項は累乗の形「◯の◯乗」という形になることが予想できますね!

さきさきやる気
一般項求めるために必要なのは、今回はなに〜?
等差数列と似ているが、初項と公比($a_1$と$r$)だ!

一般項は、

$a_n=a_1・r^{n-1}$

となります。

等差数列と等比数列は、数列の勉強にとって一番の基礎と言っても過言ではない!きちんと理解ができるようになるまで、教科書を読んだり問題集を解いたりしよう!以下の記事を参考にしよう!
「数学わけわからない……。」「中学までは得意だったのに……。」そんな思いでこのページにたどりついた人も多いのでは。この記事では、数学の基礎の基礎、教科書レベルの問題を解く力を身につけることができる、最 ...... 続きを読む≫
数学定石理解
案件期末テストで終わらない本物の数学力を身に付けたい! 戦略01 定石ってなに?なぜ定石を覚えるの? 戦略02 なにをすればいいの? ※サイトが正常に表示されない場合には ...... 続きを読む≫

2-3.シグマ(数列の和)

さきさき泣く表情
うち、このΣってのマヂで無理なんだけど〜!ちょー拒絶反応がでる!
確かに難しそうに感じるが、一度理解してしまえば次第に使いこなせるようになるぞ!公式の暗記だけでは問題を解くことにつながらないから、しっかりと理解できるようになろう!

等差数列の和

公式はこのように書かれていることが多い。

$\sum_{i=1}^n i=n \frac{f+l}{2}$ (f:初項、l:末項)

さきさき慌てる表情
でもこれ見たって、よくわかんないよ!
だろうな。そこで上の”数学語”を日本語に直すとこうなる。

$a_1 からa_n まで全て足す=\frac{(数値の個数)×(初項a_1+末項a_n)}{2}$

さきさき慌てる表情
少しわかりやすくなったけど…まだわかんない!
では説明するぞ。まず例を出すんだが、君は「1から100までの数字を全て足しなさい」という問題があったら、どのように解く?
さきさき慌てる表情
えっと、1+2+3+…
それだと時間がかかる。計算の工夫として、右端と左端を順に足していくというやり方があるんだ!

さきさき笑う表情
たしかに、同じ数が出てくるから、計算がしやすいね!
実はこの考え方が、上で見た公式に使われているんだ!ほら、(初項+末項)って、数列の左端と右端を足しているだろ?
さきさき泣く表情
やば!
さらに2で割っているのも同じだよな!等差数列の和の公式は「1から100まで足す」計算と同じことをしていると覚えておこう!最後にもう一度公式をのせておくぞ!

$\displaystyle\sum_{ i = 1 }^{ n } a_i=n\frac {f+l}{2}$ (f:初項、l:末項)
$a_1$ から$a_n$ まで全て足す=$\frac{(数値の個数)×(初項a_1+末項a_n)}{2}$

等比数列の和

等比数列の公式はジッと見ていても何を言っているのかわからない。ここでは公式をどのように導いているのかと、導く上でのコツを紹介するぞ!

はじめに、Σとは何をしているのか思い出しましょう。Σとは、「$a_1からa_n$までを全て足す」ということでしたね。それを式に表すと

$S_n=\displaystyle\sum_{ i = 1 }^{ n } a_i=a_1+a_2+a_3+⋯+a_n$

となります。

さきさき笑う表情
単純に足しているだけだね!

次にもう一つ重要なポイント!それは「上の式全体に公比rをかけると、aの右下にある数字全てに1がプラスされる」ということ。つまり、

$rS_n=r\displaystyle\sum_{ i = 1 }^{ n }a_i=a_2+a_3+a_4+⋯+a_n+a_{n+1}$

ということです。

あとは二つの式を並べて、連立方程式の時のように引くと、公式

$S_n=\displaystyle\sum_{ i = 1 }^{ n }a_i={a_1 (1-r^n )}/(1-r)$

がでてきます。

公式の導きだし方を覚えておくと、もし公式を忘れてしまった場合に、計算によって思い出すことができるぞ!今まで見てきたような基本的な公式については、自力で導き出せるようにしよう!

戦略03 どのように学習していけばいい?

さきさき泣く表情
この記事を読んで公式の意味は少し分かった気がする!でも公式って、いつ使えばいいかわかんないんだよね〜!
公式を暗記じゃなくて理解できたことはいいことだ!数列の勉強には主に4ステップあるが、そのステップ1ができたということだ!
さきさき怒る表情
その4つのステップって何?初耳なんだけど
これが数列の勉強の4ステップだ!この順番を守って勉強を進めれば、入試本番のレベルまで学力を持っていけるぞ!
step1
公式を理解する (教科書理解)
step2
公式を使って、数列の計算がきちんとできるようになる(定石理解)
step3
問題集を使って、問われ方と考え方を学ぶ(問題演習)
step4
過去問を使って、志望校にあった対策をする(過去問演習)

step1公式を理解する

この段階は戦略02の解説に加え、持っている教科書を使っても復習ができると思う!これら二つを使って、公式がどんな意味を持っているのか確認しよう!教科書の使い方はこちらの記事をチェックだ!
「数学わけわからない……。」「中学までは得意だったのに……。」そんな思いでこのページにたどりついた人も多いのでは。この記事では、数学の基礎の基礎、教科書レベルの問題を解く力を身につけることができる、最 ...... 続きを読む≫

step2 公式を使って、数列の計算がきちんとできるようになる

さきさきやる気
私はここができていないかな〜!
そうだな。この段階をマスターするコツは1つ。網羅系の参考書を使って、様々な計算の仕方を覚えるということだ!
さきさき笑う表情
網羅系の参考書とはこのような参考書です。

青チャート数学Ⅰ・A

『青チャート』

これらの参考書には、受験に必要な計算の種類やその解き方が全てのっている。何周か繰り返して解くことで、数列の計算ができるようになるぞ!
さきさき怒る表情
え〜、何周もやるの…ちょっとめんどくさいな。
数学の計算は英語でいうと英単語みたいなもの。一度で覚えることはできないんだ。ただ、どのようにやれば一番効率的に学習できるかはアドバイスができるぞ!詳しくは下の記事で確認してくれ!
数学定石理解
案件期末テストで終わらない本物の数学力を身に付けたい! 戦略01 定石ってなに?なぜ定石を覚えるの? 戦略02 なにをすればいいの? ※サイトが正常に表示されない場合には ...... 続きを読む≫

step3 問題集を使って、問われ方と考え方を学ぶ

高校3年生からは、この段階に入っていく。入試でどのように問われるのかを学んでいくんだ。詳しい使い方は下の記事で見ることができる。
数学問題演習基本の勉強法
※サイトが正常に表示されない場合には、ブラウザのキャッシュを消去してご覧ください 数学の基礎レベルがマスター出来たら、次は問題演習です!問題演習とは、様々な大学の過去問の中で「良問」とさ ...... 続きを読む≫
一つ注意だ。Step1、Step2がまだできていない人がこの段階をやっても、レベルアップにはつながらない。必ず順番通りに勉強を進めていくことを約束してくれ!

step4 過去問を使って、志望校にあった対策をする

さきさき慌てる表情
最後に過去問?
そうだ。過去問あるような問題が、本番の試験でも出るからな。有名な赤本などを使って、自分の志望校にあった対策をしよう!過去問演習の仕方は、以下の記事を参考にしてくれ!
数学における過去問演習は、その勉強法次第ではまったく成績が上がらず時間・過去問のムダづかいになりがちな分野です。その一方で、正しい勉強法で進めれば圧倒的に得点率のアップが狙える分野でもあります ...... 続きを読む≫

まとめ

  • 公式は暗記だけではダメ!理解をすることで、数列の考え方が身につく!
  • 数列は 公式理解⇨計算練習⇨問題演習⇨過去問演習 の4ステップを守って勉強しよう!
line@

大学受験や勉強に関してお悩みの方は、気軽にLINEで無料相談!

友だち追加

「記事を読んでも悩みが解決されなかった……」
「この時期に今の成績で、志望校に合格できるの?」
「この分野が苦手なんだけど、おすすめの参考書は?」
など、どんなことでもお気軽に無料でご質問いただけます。


ご覧いただける主なコンテンツはこちら!
・ほかの受験生の質問と、それに対する回答をあなたも見れる!
・編集部イチ押しの記事を紹介してもらえる!
・無料イベント情報など、登録者だけに先行公開!


毎週20通以上のお悩みをいただいています。
まずはお気軽にご登録ください!


これまでに寄せられた質問はこちら!


友だち追加